Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к вопросу о преобразованиях Лежандра, заметим, что га-мйльтониан (2.6.3) является плотностью, так что должна исследоваться зависимость интегрального гамильтониана (2.6.1) от канонических координат и импульсов (функциональная зависимость!). Итак, мы приходим к необходимости использования функциональных производных на гиперповерхности (см. § 8.3), по которой проводится интегрирование в (2.6.1). Проварьируем интегральный гамильтониан; так как при этом геометрические координаты 1 не подвергаются изменениям, то операция варьирования вносится под знак производной, и мы должны рассматривать выражение
6tB« = АВ) р• 6IP“ - Ilfpt - бAb + [(IP“6pV - IIPv6pa) Mb], v. (2.6.5)
Считая, что вариации бAb обращаются в нуль на границе области интегрирования, и учитывая антисимметрию выражения, стоящего под знаком дивергенции в (2.6.5), мы можем, интегрируя (2.6.5), применить теорему Стокса (8.2.26); в результате получим
бРр = $ (Ав ,р Ш** - ПВр 6АВ) dSa. ¦
S (2.6.6)
Отсюда видно, что функционал Pp зависит явно только от канонических координат Ab и канонических импульсов ПРа, что и требовалось.
Мы пока ограничивались рассмотрением лагранжианов, зависящих лишь от канонических координат Ab и канонических скоростей Apf а. Включим теперь в лагранжиан также вторые производные канонических
1 Под геометрическими координатами мы понимаем обычные пространственные и временную координаты, в отличие от канонических координат — компонент потенциалов физических полей. Соответственно канонические импульсы в теории поля не имеют ничего общего с обычным физическим импульсом (количеством движения) . Из соображений удобства мы будем также употреблять термин «канонические скорости», понимая под ними производные потенциалов полей по геометрическим координатам, хотя, конечно, в каноническом формализме (в противоположность лагранжеву) понятие скорости является чуждым элементом.
4* 51
координат (потенциалов) и определим:
AL
ПВа==Тл------’ ^2-6-7)
ОЛ в, а
ПВаР = aJ~— * ^2-6-8)
оЛв, а, р
Канонический квазитензор (2.4.55) в этих обозначениях принимает вид
to = П^Ав,a + UaaUa,С, р - Ua, (2.6.9)
а его вариация после тождественных преобразования равна:
б? = As, абПВа + As, е6П№ - [-^jl6а + П S“- nB“f р] 8АВ + + [(Пв«6а - Пв^б ?)6АВ + (ПВаїб/—
— IPPv6o ) Mb, v],p - (гГР,абЛв) ,p. (2.6.10)
Здесь в последнем члене под знаком дивергенции стоит симметричная до ицдексам аир величина (а не антисимметричная!), так что теорема Стокса не может избавить нас от этого члена. Подобная же ситуация имеет место и в классической механике, если взять там лагранжиан, включающий ускорения 1J
L=L{q, q, q). (2.6.11)
Введем определения:
б L
-P = JT-, (2.6.12)
6 q
OL
P = -. (2.6.13)
Тогда гамильтониан механики примет вид
H = pq +Pq -L, (2.6.14)
и его вариация (или просто дифференциал)
bL .. \ d
-+P-Pjiq--
будет включать член с вариацией скоростей. Таким образом, при зависимости лагранжиана от вторых производных канонических координат как в механике, так и в теории поля гамильтониан системы зависит не только от канонических координат и канонических импульсов (теперь уже двух типов), HO и от скоростей. ^
Так как в известных физических теориях, где уравнения имеют порядок не выше второго, иэ лагранжиана могут быть исключены производные йотенциалов выше первого порядка (в случае гравитации для ковариантности такой операции необходимо перейти от метрического тензора g^v к Y-матрицам или другим величинам), то мы ограничимся в дальнейшем исследованием случая
L = L(Ав; Ab, «). (2.6.16)
/ 6L .. \ а
бH = q6p + q6P - ( — +р P )bq — (Pbq) (2.6.15)
1 В теории, гравщтационного ноля цри использовании цодхода Палатини удается обойти эту трудность и рассматривать лагранжиан, включающий вторые производные метрического тензора (плбтно&гь скалярной кривизны).
52
Вспомним определения вариационных производных как коэффициентов при вариациях соответствующих переменных под знаком интеграла в выражении вариации исследуемого функционала. В зависимости от того, какие именно интегралы мы рассматриваем, вариационные производные могут быть определены на различных многообразиях. В нашем случае, когда берется функционал, привязанный к данному «моменту времени» и пространственно распространенный в этот «момент» на всю физическую систему, мы должны брать вариационные производные на гиперповерхности. Существует несколько возможностей введения таких вариационных производных, описанных в § 8.3; а именно, на основании определений (8.3.7) и (8.3.8) можно взять варианты (8.3.11) и (8.3.12) с дополнительным индексом, соответствующим ориентации гиперповерхности в каждой ее точке, или вариант (8.3.13) без этого индекса, но все же с учетом нормали к гиперповерхности. Варианты (8.3.11) и (8.3.12) могут браться в комбинации друг с другом.
Возвращаясь в вариации интегрального гамильтониана (2.6.6), мы можем заключить из него, какой вид имеют соответствующие вариационные производные. Соотвегственно только что упомянутым альтернативам можно принять либо
