Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Замечательно, что уже после работ Фридмана наблюдения дали отличное подтверждение этому предсказанию: Хаббл открыл расширение Вселенной,у проявляющееся через допплеровское смещение спектральных линий в излучении разбегающихся галактик. Согласно закону Хаббла, скорость действительно (в первом приближении) пропорциональна удаленности галактики:
V = hr. (3.4.32)
За последнее время наблюдения указали, что принимавшиеся прежде масштабы Вселенной были заниженными. Приведем здесь значение постоянной Хаббла с соответствующей поправкой; если пользоваться принятыми в астрономии единицами (св. год), то (Мак-Витти, 1961)
I / h « 8- IO9 лет; (3.4.33)
или, если выразить постоянную Хаббла h в сек~1 (Синг, 1963):
h « 4-ICH8 сек-1. (3.4,34)
Наконец, вычисляя согласно сформулированному в § 3.8 методу энергию вещества и гравитационного поля для мира Фридмана, получаем [ср. (3.8.24)]:
44 Г A AAxq2 ЗаАг°Г|
Wr - ^ +~?~ J- (3A35)
В этом выражении явно содержится вклад негравитационных составляющих, соответствующий тензору энергии-импульса (3.4.13) при учете выражений для 4-скорости (3.4.24);
У
ZIr о — 12А х°х°
g0° Х. S& (3.4,36)
Остальная часть энергии (3.4.35) имеет чисто гравитационную природу; ,легко видеть, что она является отрицательно определенной.
3.5. Уравнения движения. Девиация геодезических
Вопрос об уравнениях движения является промежуточным между собственно теорией гравитационного поля Эйнштейна и законами эволюции его источников; на первый взгляд он должен был бы относиться к последним. В действительности положение оказывается нетривиальным, так как основные законы механики — уравнения движения — в общей теории относительности настолько тесно связаны с уравнениями гравитационного поля2, настолько переплетаются с ними, что оказываются уже следствием уравнений Эйнштейна. В этом параграфе мы рассмотрим движение пробных масс в уже «готовом» гравитационном поле, не заботясь специально, чтобы оно отвечало уравнениям Эйнштейна.
Уравнение геодезической (1.56) является, как уже говорилось, самым непосредственным обобщением уравнения прямой, понятие которой утра-
1 Cm. также работу Мак-Витти (1933), где рассмотрена задача о поле точечной массы на фоне расширяющейся вселенной.
2 Уравнение гравитационного поля в этом случае можно рассматривать чисто геомет-
рически — когда выводы применяются к тому вместилищу, в котором разыгрывают-
ся механические процессы.
77
тило законность в римановой геометрии. Это уравнение
D dx^ d?x» _ dx? dx$ л
Tafi11----------J— = О (3.5.1)
ds ds ds2 ds ds
поэтому естественно принять в качестве уравнения движения пробной массы в отсутствие всех полей, кроме гравитационного, т. е. уравнения движения по инерции; Такой выбор диктуется не только принципом соответствия с нерелятивистской теорией, но и соображениями, только что приведенными здесь. Кроме того, оно может быть (точно из того же интеграла действия, что и в частной теории относительности) получено вариационным путем. Этот вывод неизменно приводится во всех курсах римановой геометрии и общей теории относительности; поэтому мы не будем его здесь повторять (см. § 8.6, где он дан в матричной модификации).
Необходимо подчеркнуть, что уравнение (3.5.1) описывает движение пробной массы, так как, особенно в силу нелинейности уравнений Эйнштейна, поле, создаваемое рассматриваемой массой, будучи сильным, может существенно изменить характер движения. Кроме того, естественно* берутся лишь временноподобные геодезические, так что уравнение (3.5.1) содержит некоторую излишнюю информацию о пространственно-подобных линиях.
Уравнение геодезической (3.5.1), совместно с уравнениями Эйнштейна в случае слабого поля (3.2.32), позволяет идентифицировать метрическое поле с гравитационным. Рассмотрим нерелятивистский случай: \v*\ ^ 1, предполагая метрическое поле повсюду слабым: Igliv — б^|<^1. Тогда в уравнении (3.5.1) достаточно взять члены (Pxi
+IW = 0 (3.5.2)
или, вспоминая обозначения (3.2.26), dfix^ 1
-^ST = - ~2hOo, і = — (g^d <р) і, (3.5.3)
где мы положили метрическое поле статическим, чтобы облегчить его CO-
поставление с полем Ньютона. Мы видим, что ускорение для всех
пробных тел не зависит от их масс, т. е. выполняется принцип эквивалентности Галилея — Этвёша — Эйнштейна (равенство инертной и тяготеющей масс), ввиду чего уже естественно предположить, что рассматриваемое (метрическое) поле тождественно гравитационному. Вводя в рассмотрение потенциал последнего ср, мы должны в силу (3.5.3) положить
I 1
Ф = —2 hoo = 2 Уаа (3.5.4)
а
[здесь использованы обозначения (3.2.27)]. Однако мы уже знаем вид уравнений Эйнштейна для всюду слабого поля (3.2.32):
Д^/jbiv = 2хТ nv. (3.5.5)
Взяв покоящийся источник статического поля, когда
Tia = 0, Гоо = P (3.5.6)
(знак при плотности массы р определяется прежде всего непротиворечивостью сопоставления с нерелятивистской теорией), получим
Аг/оо = 2хТоо (3.5.7)
Уіа = 0. (3.5.8)
78
Переходя к потенциалу ср, уравнение (3.5.7) можно записать в виде
