Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
R • hva^YoYp; о 4“ YpY«; о) Ч- R • (YaYp; л, "Ь YpY«; 0 “Ь
-J- (YaYp;v YpY“; v) "f" YpYm^; a {R • vxo -(- Д . xav + R. avx). (8.6.37)
(мы опустили знак шпура, под которым должно в действительности стоять это выражение!). Первые три скобки (с учетом шпура) обращаются в нуль в силу тождества (8.6.23), а последняя скобка —в силу тождеств Риччи
Ranvk "4“ RavXn “Ъ RaXnv =1 0, (8.6.38)
так что тем самым тождества Бианки (1.81) доказаны без обычно практикуемого перехода к локально геодезической системе координат.
Мы приведем здесь также вариационный вывод уравнения геодезической с помощью Y-MaTpnu;. Речь идет об экстремали между двумя фиксированными мировыми точками А и В: в
б J ds = 0, (8.6.39)
А
так что
Ьх» I л, в = 0. (8.6.40)
Заметим теперь, что 1
ds2 = — Sp(y]idx»yvdxv), (8.6.41)
и вариация этого выражения равна
1
dsbds = — Sp [уп dx»8(yv dxv)]. (8.6.42)
Имея в виду, что вариации подвергаются точки, через которые проходит мировая линия, мы получаем
6yv = Y v,xbx\ (8.6.43)
так что
_ ^х» dxv dr dx» I
6 =~4~Sp\31 ^ L Y^Yv ~~ds J —
dx» dxh dx» dx% d2x» ї
“ ^ 6l’ ~ 1 ^ “ Y»Tv ~ж 8xV *• <8A44>
Комбинируя слагаемые и отбрасывая полный дифференциал ввиду требования (8.6.40), а также учитывая произвольность вариаций координат точек внутри области интегрирования, находим
$гхп I dx» dxK
?»vh^Sp(ynhv + YvYn,&) = 0. (8.6.45)
Вспоминая выражение для символов Кристоффеля через Y_MaTPH4bI
(8.6.27) и учитывая в уравнении (8.6.45) симметрию множителя
290
(idx11 /ds) - (dx1 / ds), получаем
dPx*1 „ dxP- dx$
(8e'4e>
— уравнение геодезической линии.
Матричное представление может быть полезно также при рассмотрении интегральных величин (в особенности сохраняющихся), когда интегрирование становится невыполнимым или теряет ясный смысл ввиду наличия у подынтегрального выражения свободных индексов (например, при интегрировании некоторого тензора). Тогда можно домножить подынтегральное выражение на соответствующее число ^матриц с суммированием по индексам так, чтобы матричные индексы оставались свободными. Затем, после проведения интегрирования, полученное выражение домножается дополнительно на у-матрицы со свободными тензорными индексами, причем проводится суммирование по соответствующим матричным индексам, чтобы восстановить тензорную структуру взятого выражения.
Однако, взяв в качестве множителя при интегральном выражении зависящие от координат матрицы, мы сталкиваемся с неудобством, которое можно охарактеризовать как использование неинерционной системы наблюдения. Если интегральную динамическую переменную мыслить как рассматриваемую «извне» (наблюдатель находится вдали от распределения масс в некоторой островной модели Вселенной), то удобно взять в качестве множителя постоянные матрицы Дирака, сопрягая с ними асимптотические значения ^-матриц в данном пространстве. Тогда результаты нетрудно выразить на языке частной теории относительности.
Запишем сказанное в математической форме, взяв для простоты случай, когда лагранжиан не зависит от вторых производных потенциалов, и подставив в соотношение (2.4.20) в качестве произвёдёние Y0*? (т. ё. взяв, по существу, сразу систему преобразований, скомбинировав их в матричной форме). Мы получим
(UaaYa + M ?у°х) ,а = 0, (8.6.47)
если учтем обращение в нуль первой квадратной скобки в (2.4.20) (полная система полей). Следовательно, имеет место закон сохранения мат-
ричной контраеариантной векторной плотности
Ga = UaaYa + MaarY(8.6.48) \ Gab dSa = const. (8.6.49)
Теперь полученное интегральное выражение остается лишь умножить ка Vm, и взять шпур, а результат интерпретировать как частнорелятивистский 4-вектор энергии-импульса, взятый в декартовой системе центра масс с точки зрения «внешнего» наблюдателя. (Ср. конец § 2.4.)
8.7. Представление метрического поля с помощью тетрад
Матричному представлению метрического поля родственно широко распространенное в настоящее время и имеющее более продолжительную историю тетрадное представление. Под тетрадой ноншіаіют четверку (в 4-мерном мире) 4-векторов, которые линейно независимы и образуют поле над пространством-временем. В искривленном мире же может быть такого поля ортогональных реперов (тетрад), которое допускало бы однозначное распространение на все 4-пространство координатной сетки, построенной как совокупность огибающих этого векторного поля. В этом
$9* 291
смысле говорят о неголономности реперных «координат». Тетрады (реперы) называют также тетраподами. Наше изложение будет средним между теми, которые можно встретить в книге Румера (1956) и работе Пел-легрини и Плебаньского (1962), хотя в деталях мы не следуем ни одному из этих авторов.
Четырехмерный интервал определяется, как известно, равенством
ds2 = guvdxvdx*. (8.7.1)
Вводя «нонвариантные» (тетрадные) компоненты дифференциалов координат,
dx( а) = ?р(а)с&|*, (8.7.2)
можно переписать определение (8.7.1) в виде
ds2 = dx(a) -dx(a). (8.7.3)
Неголономный характер «координат» х (а) состоит в том, что da: (а) не являются полными дифференциалами, т. е. их интегралы зависят от выбора кривой интегрирования, так что «координаты» не распространяются на риманово пространство, хотя их и можно представить как истинные координаты в некотором касательном пространстве. Ковариантные компоненты тетрад определяются как обычно:
