Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Двуметрический формализм имеет разнообразные приложения в общей теории относительности; сюда можно отнести проблему энергии, проблему движения и проблему квантования гравитационного поля [см., в частности, работы Гутмана (1959—1961)].
8.6. Матричная формулировка римановой геометрии
Зоммерфельд (1956) предложил рассматривать матрицы Дирака как матричные комюэйенты некоторого лоренц-ковариантного вектора, а вместо спиноров брать столбцы из 4 скалярных (комплексных) функций. Напомним, что постоянные матрицы Дирака обычно определяются в виде
M10-^ ?*=(-!>
Oi
(8.6.1)
где в качестве элементов 4 X 4-матриц взяты нулевая, единичная 2X2-матрицы и матрицы Паули
«Ч'? ~о)' "’“(о-!0)- (8в-2)
Все эти матрицы постоянны, и в их определении главную роль играет свойство
YliYv + YvYm = 26*^. I, (8.6.3)
0 0 0 0
которое не нарушается при преобразовании подобия матриц Дирака:
= Jd-1YjaJd, (8J5.4)
о о
где P — некоторая неособенная 4 X 4-матрица. Итак, в представлении Зоммерфельда матрицы Дирака должны комбинироваться друг с другом при переходах между системами координат. Мы обобщим это представление на случай искривленного пространства, когда обобщенные матрицы Дирака Yja являются функциями координат и преобразуются по закону
/“(*')= ^YvH- (8.6.5)
Теперь наши матрицы должны удовлетворять соотношению
y»yV yVyli _ 2g»% (8.6.6)
причем, в отличие от метрического тензора, их производные не могут быть уничтожены локально путем преобразования координат, если только тензор кривизны Римана — Кристоффеля не равен нулю.
287
С помощью матриц Yu можно извлечь матричный «корень» из квадрата 4-мерного интервала:
«ds» = Y*1 dx». (8.6.7)
Важны следующие свойства шпуров у-матриц:
~ Sp (YnYv) = guv, (8*6.8)
Sp Yu = 0, (8.6.9)
Sp(YtiYvYx) = 0. (8.6.10)
1
— Sp (Y11YvY^Yp) = + — ^gvp (8.6.11)
и т. д.; при выводе этих соотношений полезно учесть равенство
YvYuYv = -2Yn (8.6.12)
и воспользоваться циклической переставимостью матриц-сомножителей
под знаком шпура.
По своим свойствам на обычные компоненты у-м&тртщ похожа матрица Y5j определяемая как
Ysl= ^vapYiaYvYV* (8.6.13)
Шпур ее равен нулю, а все элементы обладают свойствами псевдоска-
ляров. Кроме того,
ybyii YiaY5 = 0 (8.6.14)
Y5Y5 = - I. (8.6.15)
В общем случае 4 X 4-матрица обладает 16 элементами; поэтому может существовать 16 линейно независимых 4 X 4-матриц. Удобнее всего выбрать в качестве таких матриц единичную матрицу I, 4 матрицы y|1> псевдоскалярную матрицу Y5:
!,Y1W5, !(8.6.16)
шестикомпонентную тензорную матрицу 1
<^v = у (YiaYv — YvYja) , (8.6*17)
наконец, 4 матрицы
Yja = ~Е^ YvYV> (8.6.18)
являющиеся компонентами аксиального 4-вектора.
Эту матрицу можно сопоставить полностью антисимметричному матричному тензору 3-го ранга:
I 1
Tnvx _ ^orlIvy. -J- Y51Ojav) = -(YjaYvYx — Y^YvYia)» (8.6.19)
и и
а матрицу Y5 — полностью антисимметричному матричному тензору 4-го ранга:
1
Є »ivxp _ _ (TnvxYp _ уртnv*,) (8.6.20)
CU
Если бы пространство имело более 4 измерений, то потребовалась бы
288
отличная от нуля полностью антисимметричная пятииндексная матрица 1
днуХост _ —(0nvxpyo _j_ . (8*6.21)
2
однако она тождественно равна нулю. Формально это можно связать со свойствами 4 X 4-матриц, тем более, что можно построить матрицы с большим числом строк и столбцов, полностью антисимметричные по сколь угодно большому наперед заданному числу индексов и ненулевые Ковариантное дифференцирование применяется к ^-матрицам по обычному правилу:
= yV + YxIV*. (8.6.22)
Отметим следующие полезные соотношения для производных Y-матриц:
где
(8.6.23)
(8.6.24)
(8.6*25)
(8.6.26)
(8.6.27)
(8.6.28)
(8.6.29)
Sp (yx.Yh;v;p) = ~g^ Sp (YwvYfcp)- (8.6.30)
Очень просто выглядят в матричном представлении выражения для кривизны:
1
Яцтр = — Sp [Yh(Yv; а; р — Yv; 0; а)], (8.6.31)
Sp(YiaYvJPi)= ~ Sp(YvY^x) ,
Sp(yV,v) = — Sp (YnYx,v),
I
Sp (YPYwv) = — Sp (yp/vh + Yn/pv — Yv/np),
Aiv — Yv;n Yn;v = Yv,I* Yn,v,
I
Tjiv = -g gak Sp (YnM + YvM + Y*. (Yn,v + Yv,n)) > Sp(YPYv;v) = Sp(YvZpv),
Twx — -]T Sp (YaYa, n) I
I
RIiv = Sp[Ya(Yn;v;« Yn;a;v)]>
R = -Tf sP (YaYv;v);a + Sp (Y^vYV ~ Y^nYV).
(8.6.32)
(8.6.33)
Здесь мы выделили в скалярной кривизне дивергенциальный член, который после домножения кривизны на У—g приводится к виду аффинной (обычной) дивергенции, так что в качестве лагранжиана гравитационного поля можно взять в матричном представлении величину
У — g
Lg = -g— Sp (Y^vYvJn — YiiJnYvV).
(8,6.34)
Интересно отметить, что тождества Бианки непосредственно доказываются в матричном представлении без обычно используемого перехода к локально геодезической системе координат. Заметим для этого сначала, что
Э
V; Я — Ав; Я; V
19 H В. Мицкевич
— ав Ii R-
руЯ.
(8.6.35)
289
Тогда выражение
Rplivk] а “Ь -йриЛл; v "Ь Rpixov, X (8.6.36)
после подстановки (8.6.31) переходит в
