Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь б<3>(ж) — трехмерная б-функция, определенная относительно данной гиперповерхности. Вводя обозначение
причем анализ для плоского мира и декартовых координат указывает, что 6(?) обладает свойствами обычной одномерной б-функции. Тогда, так как б^ж) взята уже на гиперповерхности і = 0, интегрируя последнее соотношение по ?, получаем
а вводя, кроме нормальной к гиперповерхности координаты t, также касательные координаты х ,
Трехмерные б-функции применяются при рассмотрении канонического формализма в § 2.6.
Отметим в заключение тесную аналогию между б-функцией Дирака и символом Кронекера 6|*v. Множно сказать, что существует соответствие
где индекс Ji играет роль прежнего ^av — роль а, и наоборот (выражения симметричны). Выбирая в функциональном пространстве ортогональный базис, можно представить б-функцию в виде матрицы; ее элементами будут как раз компоненты символов Кронекера. Однако число измерений (координат) для символов Кронекера не имеет ничего общего с числом измерений мира для многомерной б-функции. Наконец, можно определить аналог
^ бц(ж)с?Л = I = inv
(8.4.41)
б** (х) ~ Jli1.
(8.4.42)
((И*)) = (б(г),0,0,0). Вообще же можно принять б^ж) = ггиб(3)(ж).
(8.4.43)
(8.4,44)
X^kJlyi — t,
где t — параметр, а не физическое время, можно положить 6<4)(ж) = — ггцб^ж) *6(0,
(8.4.45)
(8.4.46)
(8.4.47)
ха = xf — пЧг
(8.4.48)
получаем окончательно
(8.4.49)
б (х — a) dx 6,av,
(8.4.50)
280
ж символов Леви-Чивиты как подобный же переход от дискретного по своим измерениям мира к непрерывному (функциональному) миру (И. И. Иванчик). Символ Леви-Чивиты служит, как мы видели, для определения элемента объема мира, так что его обобщение имеет прямое отношение к вопросам функционального интегрирования.
8.5. Двуметрический формализм
Двуметрический формализм был впервые сформулирован Розеном (1940) и развивался впоследствии Пугачевым (1959), Колером (1952, 1953), Гутманом (1959, 1961); близкий вариант концепции «относительного гравитационного поля», обладающий рядом преимуществ, был предложен Рыловым (1962—1964). Обычно в пространстве-времени рассматривается лишь поле метрического тензора g^v, приводящего к (вообще говоря) отличной от нуля кривизне мира. Однако наряду с римановым (гауссовым) метрическим тензором gnV можно ввести и другой симметричный тензор второго ранга с отличным от нуля детерминантбм — тензор е^v. Его можно называть «вторым метрическим тензором» или «тензором поля сил инерции», хотя ни одна из этих интерпретаций не является обязательной. Наглядно тензор вцч можно определить следующим образом. Пусть рассматривается заключенная в конечном пространственном объеме физическая система (островная модель). Тогда можно считать (з отсутствие гравитационного излучения, по крайней мере, сильного), что асимптотически, на больших пространственных расстояниях от этой системы пространство становится плоским. Выберем такую систему координат, чтобы асимптотически она была декартовой (в области, где кривизна не равна нулю, конечно, понятие декартовой системы не имеет смысла). Определим тензор етак, чтобы в этой (естественно, привилегированной) системе центра масс во всех мировых точках (включая указанные области с наличием кривизны) его компоненты были
(*цу) =
1 0 0 0
0 — 1 0 0
0 0 —1 0
0 0 0 — 1
= (SlXv). (8.5.1)
Переход к другим координатным системам совершается, естественно, по обычному закону преобразования тензоров:
, дх? дх$
<8-5-2>
Однако это простое определение в высшей степени произвольно: мы можем, не изменяя асимптотических свойств системы координат, в широких пределах изменять ее внутри области, в которой кривизна отлична от нуля (физическая система и ее окрестности), и в равной мере корректно вводить в любой из этих равноценных «квазидекартовых» систем тензор вцУ по формуле (8.5.1). Этот элемент неоднозначности, однако, легко устраним в рассматриваемом случае, когда не происходит гравитационного излучения на бесконечность, а физическая система соответствует островной модели. Действительно, при этом уравнения Эйнштейна имеют единственное решение для метрического тензора при задании распределения источников гравитационного поля (IVv) и при асимптотически плоской метрике. Метрический тензор guv тогда оказывается функционалом TVv и функцией параметра х — эйнштейновской гравитационной постоянной. Если теперь устремить параметр к к нулю («выключение» гравитационного взаимодействия), то пространство-время «распрямится», однако вполне определенным образом — получающаяся при этом плоская метрика е^lv определяет-
281
ся однозначно взятым вначале распределением источников. Это видно из того обстоятельства, что на каждом этапе указанного предельного перехода метрика определяется при сделанных предположениях однозначно. Это предельное значение метрики мы и возьмем в качестве тензора epV:
^jiv = Iim guv [х, Таг]» (8*5.3)
и-н)
В остальных случаях мы приходим к космологической проблеме, которая ставится в зависимость от положения вещей, например, в «момент» рождения мира.
