Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
gv( a) = g*vgv(a). (8.7.4)
По повторяющимся индексам проводится суммирование (также и по нон-варйантным, которые можно понимать просто как «номер» вектора в тетраде). Из сравнения формул (8.7.1) и (8.7.3) видно, что
Sn(a)?v(a) = guv* (8.7.5)
В то время как в локально геодезической системе
(S1Jiv)O = 6y,v = diag(l, —I, I, I), (8.7.6)
для тетрадных векторов можно принять в качестве предела
(Ma))о= 6|x(a)s= diag(l,i,i, і), (8.7.7)
и «нонвариантные координаты» в плоском мире запишутся как
(#(а))о = (ct;ix;iy;iz). (8.7.8)
Отсюда видно, что детерминант тетрад (детерминант ковариантно-нонва-риантных компонент метрического тензора) целесообразно взять в виде
met[^(a)]==G, (8.7.9)
причем, очевидно,
Ififl=+у=^. (8.7.10)
Этот детерминант должен быть, естественно, отличным от нуля.
Принятые определения приводят к равенствам
6р«= g^g^ = g»{o)g*(o) g^x) g& (T)= §** (о) ?fp (o’), (8.7.11)
откуда
(a)gp(т)(a)^(т) ~ 8xa] = 0. (8.7.12)
Таким образом, нонвариантно-нонвариантные компоненты метрического тензора совпадают с соответствующими компонентами символа Кронекера (в силу G Ф 0):
*(а, т)- ^(а)л(т)= 8Л (8.7.13)
292
Переходя к дифференциальным операциям, можно определить д Del Q
g4a)—~. (8.7.14)
дх(а) дх*
Вместе с определением (8.7.2) это дает
»7.«)
Как известно, при инфинитезимальных преобразованиях координат имеем
dx/>x == dx* + d8x» (8.7.16)
в случае обычных контравариантных координат; нонвариантные дифференциалы координат преобразуются, в отличие от них, по закону
dx'(a) —dx(a)-\-Мх(а). (8.7.17)
Выбранный порядок символов d и б определяется теми обстоятельствами, что при умножении левой и правой частей равенства (8.7.16) на
g'A»),
?'и(а) = ?и(«) + Sgti (а), (8.7.18)
мы получим для 6dx (а) выражение
§dx (a) = g», (а) dbx** + б?ц(а) dx(8.7.19) а не
d6z(a) = gm(a)d6x^. (8.7.20)
Дальнейшие простые вычисления приводят к соотношениям
бдх(а) Kte(P)
дх($) дх(а) ’ 1 ‘ ’ ’
так что преобразования нонвариантных «координат» можно называть ортогональными, хотя о линейности их нельзя говорить в силу неголоном-ности «координат» и вытекающей отсюда неперестановочности дифференцирований по их компонентам. Эти преобразования обычно называют поворотами тетрадных векторов.
Такие преобразования тетрадных (нонвариантных) индексов можно
рассматривать с двух точек зрения.
а) Нонвариантные преобразования независимы от ко- и контравариантных. Тогда сразу во всех точках 4-пространства таблицу для ком-
понент gn(а) можно привести к «треугольному» виду
go(0) Sr0(I) go (2) g0 (S)
0 ?i(l) §i(2) gi (3)
0 0 gt(2) gt(3)
0 0 0 gs(3)
так что все тетрадные векторы в совокупности будут обладать 10 независимыми элементами, как и g^v Этот подход является общепринятым.
б) Можно связать друг с другом все преобразования. Тогда напрашивается гипотеза:
8дх(а) V дЬх**
. ~зт= <8-7'23)
(gv («))
(8.7.22)
293
їіричем
Ad^ = -A(S)1;, (8.7.24)
и простейшим вариантом такой связи будет
Л( P )l = -^-[*Г(Р)Ма)~ Sv(CI)^(P)]. (8.7.25)
Нонвариантные компоненты тензоров преобразуются по закону типа
(8л-2в)
а переход от обычных компонент к этим определяется по аналогии с равенством (8.7.2). Смешанные компоненты тензоров [например, Ttja(а)] преобразуются очевидным образом.
Мы введем теперь два тйпа кбвариантйых цроизводных: производные, обозначаемые точкой с запятой (;) перед соответствующим индексом и не затрагивающие нонвариантных индексов в ср^діісш с,концепцией преобразований «а», и производные, обозначаемые оператором «набла» (V), касающиеся также нонвариантйых индексов и поэтому, возможно, более близкие к концепции «б». Тогда
§а(с&); п; V fiA,(ci)- v; ja = gn((X)R . Я,^, (8.7.27)
откуда следует простое равенство
RyikyjLV = Sx (tt) [^я(сх); ja;v — gk((X);v; jaJ (8.7.28)
Для тензора Римана — Кристоффеля; тензор Риччи равен тогда
Rll1V = (ct) [g*JJt (ct) ; V; к - Sn (сь) ; к; v], (8.7.29)
а скалярная кривизна —
R = **(а)[Г(сО; v; Ji - g*(a); К v] =
2[гМа)^(,а)^].д+^(а);<(а);{А~Г(а);^(а);^ (8.7.30)
где было использовано свойство антисимметрии
**((*)?? (а); к= -Sv(O)S^a).; к. (8,7.31)
Таким образом, в плотности скалярной кривизны вторые производные тетрад «уходят» в обычную дивергенцию:
Tl—gR = [У—^M(a)«rv(a);v],n +
+ Д[^(аЬГ(а):|*^Г(а);^(аЫ, (8.7.32)
откуда следует удобное выражение для лагранжиана метрического поля в тетрадном представлении. Следует, однако, отметить тот факт, что такое разбиение неинвариантно относительно «поворотов тетрад», хотя и инвариантно по отношению к преобразованиям координат в общей теории относительности.
Мы выведем теперь закон ковариантного дифференцирования, затрагивающий нонвариантные индексы. Рассмотрим для этого обычную частную производную нонвариантного вектора:
Г PA (a) I'___ 8 Г да;(у) \ 1 __
Ldz(P)J ^(P)Lftr7(Ct) WJ
294
**<*> + (8.7.33)
дх'(Р)дх'(а) дх'(а) дя'(р) дх(8)
При этом, вообще говоря,
д2 д2
