Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя в выводе теоремы Нётер (§ 2.4) от часіньїх производных к ?-ковариантным путем замены
из них, очевидно, нетривиальны лишь последние три, приводящие к соотношению
Здесь, фактически, тензор евключен в лагранжиан как некоторый новый потенциал, хотя он и не определяется обычным динамическим путем. Естественнее, однако,, заранее предполагать, что тензор e^v и его производные входят в лагранжианы лишь в определенной комбинации, а именно
----- О,
(8.5.21)
А — —У g Ztiv (Гцу ГаР Г ца Tvp),
(8.5*22)
Acov — У— S (Пцу Пар Піла Пур) .
(8.5,23)
(8.5.24)
и т. д., нетрудно получить новые сильные соотношения Нётер:
—JBAB\a + (U0Z-To*-J*aBIор) ip = О,
(8.5.25)
(8.5.26) (8*5.27)
(8а 5.28)
Uaa + Wo |р = О,
ат Рта -at .at ,та
ТП>о T- ftalP = Ja , Ja =—Ja ,
(8.5.29)
Здесь введены следующие очевидные определения:
(8.5.30)
(8.5.31)
(8.5.32)
284
как yv\, в составе е-ковариантных производных. Поэтому целесообразно изменить выбор переменных и считать основными переменными потенциалы Ab (не включающие тензора e^v) и их е-ковариантные производные:
L = h(АВ] Лд|а; 4д|а|э). (8.5*33)
При выводе теоремы Нётер на основании такого лагранжиана нужно учесть, что операция б* не коммутирует с е-ковариантным дифференцированием, причем
(8.5.34)
б*(^в|а) — (вМв)|« Яві • ? |т|«
6*(-4в|а|р) = (б*лв) |а|р — ав1 -|а|т|а|Э —
Xg I Xg
ав\ а|р- ? 1*1«-а* І а|а- ? |т|Э "Ь Ав\д1- |а|р.
(8.5.35)
Тогда определения ПЛОТНОСТИ НОВЫХ физических величин Uoa, Шдт и
OL
примут вид
Uaa = Lfioa + Т„“ + Звав дЬ
дАв |а|Р
0 дАв |т
2 SL
¦Ав\с
ав
SdAaixw
I дЬ I P 2 / dh \ I P
-T-T-J----------вв| -------(—-------------),_«в| —
0 СЛв|а|т
1 / дЬ
CLb
аЭ
Шо
3 '&4в[т[р' |т I / 9L
16>L I P
----------ав
2 дАв\а 1 ®
1 OL
2 &Ав\$
¦ йв
Ч(
дЬ
----CLb ----------mTZ-----aB
ОАв\а 1 a • CJ
(8.5.36)
1 / дЬ |П 1/
3 N дАв\а\$ 'а' |т 3 \
+1^) Jt-
3\ дАв\а\х/ It ' а
1 / gL \
дАВ\х\$' \х ' а
apt
Па
дАв\а\т/ \х
1 / дЬ
2 SL Iа CLb
I ав\ +
'It * а
1 дЬ
-ав
э
_ I / А — ”б \~дА
BlcJlP
-йв
3 дАв\т\& ' <т[t 34в|а|т ' а|т
дЬ
а 1 дАв |а|г
сів
'» Л дЬ
п ^ "я!-----------------Яв
дАв |Т|р
,(8.5.37),
а“), (8.5.38)
тензорные соотношения Нётер можно записать в виде — Jb Ав\о + у T^v ^vlo + (Uoa - Toa — Jb ав I oa) Ia +
Uea + Шо^р — О,
dL а ЬЬ
я Ив I а|т — —л л йв
дАв Itip
Мв|р
Й =0, / |а|Р
ар . „та? -аЭ -аЭ . Р« /qk/^v'
Ш® -J- 0<j|t = !«г , Iа — — I а , (8.5.41)
Па“Рт) = 0, (8.5.42)
из которых первое, как обычно, выполняется тождественно, а следствием остальных является закон
vS\a = 0. (8.5.43)
Конечно, здесь можно снова вернуться к уравнениям с использованием частных производных, в точности совпадающим с обычными соотношениями Нётер. При этом новые выражения для Uaa, M N имеют вид
Ury . pv a Pa V paA, v PvA, a pav X ч
a — Ua “г Wla YvP YaP “f“ (®v Y°P YvP YvPy А»
(8.5*44)
at at , pva т . ptv a Pxa v /n
Ma — IUa “г Yvp -f- YvP nv Y°P? (8.5.45)
татр atp
Na = na . (8.5.46)
Если теперь в качестве лагранжиана взять тензорное продолжение Acov (8.5.23), то в качестве канонического тензора гравитационного поля [естественно, в смысле соотношений (8.5.40)--(8.5.43), т. е. е-тензор-ных!] получим
л „ QAcov Ю8 с „ / ^Acov \ /п _
cov 0 (8.5.47)
э Ia ар
а не тензорное продолжение эйнштейновского псевдотензора:
A0CC = Лс0у бо„ (8.5.48)
Ia
Дополнительный член в (8.5.47) имеет форму дивергенции, и вторая дивергенция от него, как легко убедиться, тождественно равна нулю. Этот член возникает ввиду использования при выводе соотношений Нётер не равной нулю величины 69е^. Если при этом выводе исходить из обобщенной линейной ортогональной группы, то нежелательный член автоматически пропадает, выражение для спинового момента принимает вид
LfUi= y(m"i—т^), (8.5.49)
а спиновая доля энергии оказывается связанной со спиновым моментом соотношением
~2 (uCOE — UecJ — IjLwelIa • (8.5.50)
Можно, однако, получить канонический тензор в форме (8.5.48), исходя и из общих преобразований, но подобрав соответствующий лагранжиан гравитационного поля, на этот раз со вторыми производными. Для этого достаточно определить неопределенные вначале коэффициенты а и Ь в дивергенциальном добавке, который мы включаем в лагранжиан:
Я = s ?nv! a(a?**v gap + bgv-a r^lip. (8.5.51)»
Соответствующие вычисления в принципе несложны (см. Мицкевич,. 1965в) и дают
286
а=-11/8, Ъ — 7/4, (8*5.52)
а новый лагранжиан принимает вид (3.1.9).
Указанный здесь способ сопоставления римановой метрики и тензора б ну (соотношение (8.5.3), на основании которого тензор еопределяется распределением и движением источников гравитационного поля, допускает интерпретацию в духе принципа Маха, а именно, что инер-циальные системы [в которых тензор Єуч имеет вид (8.5.1)] определяются всей совокупностью масс Вселенной. Правда, здесь продолжает оставаться без ответа вопрос о том, как именно эти массы обусловливают само существование пространства-времени. Этот вопрос как аспект принципа Маха имеет, по-видимому, наиболее глубокий смысл.
