Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
— У—SR = І—g• (о*; P• <тр; в — Oa) о- <ТР; р) +
+ [У—g (О® • Op; P — Op • О*; р)], о,
(8.8.49>
зоо
даш с конкретными экспериментальными фактами, является последовательное и корректное разделение 4-многообразия на пространство и время.
В связи с этой проблемой развивается математическая теория «расслоенных пространств». В физике уже давно пользуются самым примитивным подходом к выделению пространства и времени, определяя интегральные величины для распределенных систем на пространственно-подобных гиперповерхностях (в частной теории относительности — гиперплоскостях). Напомним попутно, что рассмотрение пространственно-подобных гиперповерхностей не всегда может быть согласовано с релятивистским принципом причинности (случай неограниченных гиперповерхностей); выход из возникающей при этом трудности можно усматривать в использовании светового конуса «одновременной видимости» (Бом, CM. обсуждение в конце § 2.3).
Можно, однако, обойти такое отсутствие установившихся непротиворечивых методов анализа распределенных систем, вводя понятие системы отсчета в пространстве-времени. В традиционной формулировке частной теории относительности, где пользуются лишь декартовыми 4-мерными •системами координат (в книге Фока можно найти принципиально иной подход), системы отсчета часто смешивают с системами координат. В действительности такое смешение незаконно, так как разные системы отсчета непременно должны находиться в движении друг относительно друга, тогда как разные системы координат могут быть и неподвижными относительно ДРУГ друга. Мы говорим, например, что декартова (3-мерная) и сферическая системы координат, центры которых совпадают, принадлежат к одной и той же системе отсчета, тогда как две декартовых (4-мерных) системы координат, движущихся друг относительно друга (преобразование Лоренца) принадлежат к двум разным (инерциальным) системам отсчета. В общей теории относительности положение усугубляется тем, что и в традиционной теории мы вынуждены пользоваться криволинейными неортогональными координатами. Тогда эти координаты, если задавать их, игнорируя метрику, ничего не говорят о реальных длинах и промежутках времени. Координата х° не имеет тогда отношения к истинному времени, которое должно теперь конструироваться из интервалов всех 4 координат! Поэтому приходится использовать термины координатного и физического Бремени (первое можно назвать «ко-временем», чго соответствует английскому «cotime»). Первые четкие определения понятия систем отсчета были даны Зельмановым и Мёллером; основные физические и космологические выводы из него были получены Зельмановым. В дальнейшем эти исследования продолжали Каттанео и Шмутцер,, а также ученик последнего Салье.
Дадим определение: к одной и той же системе отсчета относятся все системы координат, преобразования между которыми удовлетворяют условиям
(8.9.1)
и, обратно,
дх1
MiT=O- (8.9.2,
Эти условия означают просто, что все системы координат, принадлежащие к одной и той же системе отсчета, неподвижны друг относительно друга [транзитивность соотношений (8.9.1) очевидна]. Наоборот, если две системы координат движутся друг относительно друга, то они принадлежат к разным системам отсчета. Тогда преобразования координат, не выводящие за рамки одной и той же системы отсчета, могут быть записаны как два типа преобразований, реализующихся совместно: хронометрического
301
дх'° дх'° ( дх'° \2
?./00 _ —ф I --------------------------------\ g00 (8.9.6)
преобразования
x/Q = х/0(х°, Xі X21X3) (8.9.3а)
и 3-мерного преобразования
хн — xfl (Xі, X21X3). (8.9.36)
Якобиан 4-мернОго преобразования тогда выражается через якобиан 3-мер -ного преобразования по правилу
/<4) =------/<*). (8.9.4)
дх°
Интересен закон преобразования 00-компоненты метрического тензора:
(дх^ \2
~fan) «¦«(*)» (8-9-5)
тогда как
Qxfxt дх§ ^ ^ V дзс® )
Подобным же образом для вектора можно записать
дхР
Aof(Xf) = -^rMX). (8.9.7)
Поэтому легко построить величину, инвариантную относительно группы преобразований (8.9.3):
At = -=-. (8.9.8)
І goo
Величины такого рода мы будем называть, вслед за Зельмановым, хронометрически инвариантными 3-мерными скалярами или, короче, хронометрическими скалярами. Величины же, преобразующиеся при преобразованиях (8.9.3) как хронометрически инвариантные 3-мёрные тензоры, мы будем называть хронометрическими тензорами. Так, пространственные компоненты контравариантного 4-вектора образуют хронометрический вектор (хронометрически инвариантный 3-мерный вектор):
Qxf^ дх'^
Afi(Xf) =-------Aa =--------Aj(X). (8.9.9)
v ' дії* дх* ’ v
Аналогично, gij является хронометрическим тензором; мы будем обозначать его как
gij= — Ьч (8.9.10)'
Вводя обозначение для детерминанта этого 3-мерного метрического тензора (метрический хронометрический тензор!) Ь-1, можно записать
db = b-b*3dbij= —b-bijdbv. (8.9.11)
Трехмерный символ Леви-Чивиты очевидным образом строится через-4-мерный символ:
Eijh Eoijk1 (8.9.12)
