Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
20 Н. В. Мицкевич
305
локально постоянна. Ho отсюда не следует, во-первых, что эта компонента у-матриц ковариантно постоянна в любой системе координат, а во-вторых, что могут оказаться постоянными все остальные (векторные) компоненты Y-матриц. Напротив, мы можем на этом оснований утверждать, что при выбранной калибровке в локально геодезической системе координат Yi, м- ^ 0. Таким образом, хотя в локально геодезической системе
Y гУі — УіУі = —26^1 (8.9.48)
(в начале координат), в случае искривленного мира здесь невозможно в принципе получить дираковские (локально) постоянные значения у-мат-риц. Факт искривления мира должен явно отражаться уже на этой стадии, без перехода к повторному дифференцированию.
При хронометрически инвариантном подходе естественно определить следующие дифференциальные операции:
а і а
и
дх У#оо дх° д д goi д
(8.9.49)
(8.9.50)
д№ дхi g00 дх° '
Последнюю для ясности удобно записать в виде
¦Й7 —(8'9'М)
При этом возникают коммутационные соотношения
д2 д2 д
= Gi- (8.9.52)
и
д№дт дхд№ дх
дг дг д
-, = 2 Aij-, (8.9.53)
auajj avav J дх
которые одновременно являются определениями величин Gi TL Aij {соответствующие вычисления несложны). В свою очередь, соотношения
(8.9.54)
дх 2 V av д%') v
выполняются уже тождественно. Интересно, что введенные коммутационные соотношения, будучи продуктом чисто классической теории, напоминают коммутаторы, использованные для «квантования пространства-времени» Снайдером, но теперь уже в пространстве импульсов. Таким образом, можно утверждать, что в присутствии гравитационного поля или сил инерции (в этом аспекте действует «эквивалентность») квантовомеханические компоненты наблюдаемых энергии и импульса не могут быть измерены одновременно.
Пользуясь «координатами» t и Iі как в виде дифференциалов, так и производных, следует помнить, что речь идет о неголономных величинах, т. е. dt не образует в общем случае полного дифференциала, и интегрирование его зависит от выбора пути (см. анализ Арифова, проведенный после Зельманова). Однако Зельманов показал, что требование Gi = 0 в некоторой 4-области полностью эквивалентно тому, чтобы в этой области была гарантирована возможность совместного обращения goc повсюду сразу в 1, а всех dgoi / дх° — в 0 преобразованием одной только координаты Xq (что не меняет хронометрических величин!). Вместе с тем Зельманов показал также, что требование Ац = 0 является условием того, чтобы ра-
306
венство goi = 0 достигалось путем преобразования опять-таки одного я0, что дает голономность пространства отсчета. Указанные условия являются как необходимыми, так и достаточными.
Кроме величин Gi и Aij, следует ввести 3-мерные символы Кристоффеля (мы обозначим их через Alj -), которые обычным способом определяются через 3-мерный метрический хронометрический тензор bij, а также ввести хронометрический тензор Dij:
Da=L^, DU=-Liai,
2 * 2 * ,8.9.55)
д
D = Dii =-----In Yb .
дх
Физический смысл величин Gi, Aij и Dij проясняется после анализа уравнения геодезической, которое мы приведем далее к форме (8.9.66) и (8.9.67). Если сравнивать две системы отсчета — исходную и локально геодезическую в рассматриваемой точке, то легко видеть из такой записи уравнения геодезической, что хронометрический вектор Gi описывает ускорение относительно локально геодезической системы, мгновенно сопутствующей ей; хронометрический тензор Ац описывает угловую скорость этих систем относительно друг друга (для того, чтобы получить вектор угловой скорости, по необходимости аксиальный, тензор Ац следует умножить на аксиальный хронометрический тензор (8.9.36) с суммированием по двум индексам и разделить на два; при этом следует иметь в виду, что получающаяся угловая скорость будет обобщенной в духе Гутмана, т. е. во вращающейся системе отсчета в плоском мире она обратится в бесконечность там, где относительная линейная скорость двух систем равна скорости света); хронометрический тензор Dij описывает деформацию системы отсчета.
Хронометрически инвариантная 3-мерная операция ковариантного дифференцирования вводится тем же способом, что и аналогичная 4-мерная операция. Обозначим хронометрически ковариантное дифференцирование по Xі через Vt- (не следует путать это обозначение с таким же из теории фермионных полей!). Тогда альтернирование хронометрически ковариант-ных производных дает
(ViV3-VjVl)Fft = 2 Aij-^- +HikijVl, (8.9.56)
где
дх
H! UK = -^T - -?? + AmjAift - ALkAi?. (8.9.57)
OA3 О Ar
Зельманов заметил, однако, что удобнее использовать хронометрический тензор
Cijik = — (Hijki + Hkiij — Hjiki — Hikij), (8.9.58)
смысл которого ближе к смыслу тензора Римана — Кристоффеля и который совпадает с Нцм при Ац = 0 вши Dij = 0. Введем обозначения:
Cij = С С = СфЧ. (8.9.59)
Обозначая далее 4-импульс частицы через dxі*
рм- = то ——, Ї8.9.60)
as
20* 307
ее хронометрически инвариантную энергию можно представить как
E = Tn = J=L, (8.9.61)
Tteoo
