Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
эрмитова сопряжения
A+ = (Ai*, —Л 4* ^ (8.8.14)
и комплексной инверсии
A* = (-Aa*). (8.8.15)
(Звездочкой * здесь обозначено комплексное сопряжение). На основании лредыдупщх определений можно доказать соотношения:
AB=BA, (8.8.16)
AA = AA= (О,0,0, іАаАа), (8.8.17)
т. е.
AA = -AaAa (комплексное число), (8.8.18)
АВАВ = ААВВ. (8.8.19)
Когда AA = 0, кватернион А называется нулевым или особенным; когда AA = 1, кватернион А называется единичным. Любому неособенному кватерниону можно сопоставить обратный кватернион:
A-' = , AA-1 = A-1A = 1 (8.8.20)
AA v '
{в последних произведениях отлична от нуля лишь 4-я компонента, равная —і); кроме того, имеют место соотношения
(AB)+ = В+A+, (AB) х = AxBx. (8.8.21)
Кватернион, удовлетворяющий условию A+ = A9 называется эрмитовым, а удовлетворяющий условию A+ = —А — антиэрмитовым. Для любого кватерниона
(Ax) + = (А+)Х = А. (8.8.22)
При умножении кватерниона на комплексное число (функцию) z имеем Ia= zA, (zA)-' = Z-1A-\ (zA)+ = z*A+, (zA)x = z*Ax. (8.8.23)
Скалярное произведение двух кватернионов равно
Tipf 1 1
AB = -— (АВ + BA) = — — (АВ + BA) = AaBa, (8.8.24)
Z и
т. е. является числом; квадрат кватерниона равен
А А = —АА. (8.8.25)
Скалярное произведение базисных кватернионов дает
1
Оа'Оъ = дъа = — — (GaOb + GbGa) =
1 - -
= — — (оаоь + CTbCTa). (8.8.26)
Поэтому напрашивается мысль об использовании матриц Паули как пред-
ставления кватернионов; тогда при
^ /0 1\ /0 —i\ , /10
(l о)' о) 0Mo-і)' а‘ = 1/ <88'27>
298
можно установить соответствие
Л-А.<Г~ ftt't’ ЛіГ!А\) =« <8-8-28»
V Ai ¦-(- 1A2, —*4” iAIk I
'(изоморфизм!).
Вспомним теперь, как можно перейти к у-матричному представлению от тетрадного. Именно, взяв нонвариантные у-матрицы,
Y(a) = Y^Ma), (8.8.29)
о
умножим их на g^(а) и получим
yv = Y(a)^M'(a)- (8.8.30)
Подобным же образом, вводя тетрады и умножая их на кватернионы, мы получаем
gn(a)a* = or* (8.8.31)
— вектор-кватернион вместо базисного кватерниона оа. Умножая на него 4-векторы, получаем инвариантное относительно преобразований координат кватернионное представление векторов:
= В (8.8.32)
или, через тетрадные (нонвариантные) компоненты вектора и через постоянные базисные кватернионы:
В =ааВ (а). (8.8.33)
Повороты тетрад индуцируют преобразование
Bf = В (Ь) AabOa = (SaAabBib)x (8.8.34)
где Aab — коэффициенты ортогонального преобразования, в том числе «преобразования Лоренца» для тетрад, так что 8Ааь = —SA^a, Аа&Лсь = 6са-С другой стороны, можно показать, что возможна запись
CTaAab = QebQ+ (8.8.35)
При этом кватернион преобразования Q (ср. матрицу преобразования!) является единичным:
QQ = 1 (8.8.36)
или, что то же,
Q+Qx = 1. (8.8.37)
Однако можно нрименить и более слабые условия:
= Oi1-Ov, guv — <Тц • Ov, Оц = ITnvav. (8.8.43)
H Q+Qх = e~2i&, (8.8.39)
причем P — вещественное число (функция) :
CO. Il * CO. (8.8.40)
Кроме того, как можно показать,
(QoaQx) ь = (QobQ+) а. (8.8.41)
Кватернионные дифференциальные операции вводятся как
ar=Q^w <8-8'42>
299
и аналогичным же образом — для ковариантного дифференцирования. Вектор-кватернионы при скалярном перемножении дают метрический тензор:
grM/V = an . CJVj . Qvj — ^TjavQv.
(8.8.43)
Из них легко сконструировать тензор Римана— Кристоффеля:
CTjx; а; 0 Ojx; 0; а = OyR . jjuxpj RVjwzp = ^v* (OrM-; a; P — ffjx; Р; а),
(8.8.44)
(8.8.45>
тензор Риччи
RyLV = Oa- (CTjx; V; a OrJA; a; v)
(8.8.46>
и скалярную кривизну
R=Cla- (<JP; Р; a (ТР; «; р) = [(Г* * <JP; р]; a +
+ (Ta; P -*<уР; а — OTa; а • 0Гр; р.
(8.8.47>
Заметим здесь, что
Ca- Qp; P = -Gp-Oa; р.
(8.8.48)
При этом, хотя произведение двух кватернионов А »В инвариантно относительно поворота тетрад, этого нельзя сказать о произведении (скалярном)^ в котором участвуют производные кватернионов, если только не определить новых производных, относительно которых вектор-кватернион постоянен. Плотность скалярной кривизны,
если отбросить дивергенциальный член и умножить оставшееся выражение на 1І2 и, дает лагранжиан гравитапионного поля, эквивалентный тетрадному и ^-матричному.
Относительно введения в кватернионном представлении спиноров читатель может узнать из обзорной статьи Рестолла (1964). Заметим лишь,, что для определения спиноров здесь требуется ввести понятие идеала (левого и правого) и т. д.
8.9. Метод хронометрических инвариантов Зельманова
В 1907 г. Герман Минковский показал, что частная теория относительности Эйнштейна принимает особенно симметричную и простую форму, если рассматривать мир как 4-мерное многообразие, где все координаты, как пространственные, так и временная, собраны воедино, а метрика псевдоэвклидова. Такой подход стал еще более общепринятым после создания Эйнштейном: общей теории относительности. Четырехмерная симметрия завоевала всеобщее признание и стала довлеть в психологии исследователей. Однако не следует забывать, что сам факт псевдоэвклидова характера (псевдориманова в искривленном мире) нашего реального мира под^ черкивает физическую выделенность одной из координат — времени* С другой стороны, все здание физического эксперимента основывается на четком разграничении пространства и времени. Эти обстоятельства подчеркивались разными авторами, например, Мёллером в его книге. Итак, одной из важных теоретических проблем, решение которой является необходимой предпосылкой для установления связи теоретических предсказа-
