Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
и с помощью него детерминант
Ъ = Det bij = (DetЪ*!}-* (8.9.13) *
302
можно записать как
Ь~1 = — ЬЩЩтп SikmSjln = о!
1 •• ь,
= ——7-gl]ghlgmneaikme0jin = —g-'-goo, Ol
так что
g
goo
На основании равенства (8.9.11) имеем:
д /_1_\ ____________g_ Г 1 Og00
\Ь )~ goo L
bij = —b-
dgi}
Представляя goo как
^goo = —g IXQgvodgtlv,
легко найти dgoe
-JgTJ = —giogjo, так что, учитывая
5^r1 - <Г-1 , dgii ~г '8iu
находим окончательно
giogjo
goo L g dgii
gOO'
dg~
dgi з
"I-
13 J
bij '¦— •
goo
’ gij•
(8.9.14)
(8.9.15)
(8.9.16)
(8.9.17)
(8.9.18)
(8.9.19)
(8.9.20)
Это и есть ковариантный метрический 3-тензор, обратный (8.9.10). Поскольку, как мы видели,
A»+-+(AuA*), (8.9.21)
дифференциал координат распадается на следующие хронометрические величины:
dx(dt,dli). Здесь
goadxa
dt ='
Ylfoa
(8.9.22)
(8.9.23)
хронометрически инвариантныи интервал времени и dli = dx1
(8.9.24)
хронометрический вектор дифференциала координат. Квадрат последнего, очевидно, следует записать с помощью нового метрического тензора:
dP = bijdVdV; (8.9.25)
тогда квадрат 4-мерного интервала принимает вид
г ds2 = §Vv dx* dxv = dt2 — dl2. (8.9.26)
303
(rf.9.27)
Хронометрический вектор 3-мерной скорости dx{
квадрат которого равен dl2
bUUiUi = -, (8.9.28)
в случае движения с фундаментальной скоростью (скоростью света), когда ds2 = 0, (8.9.29)
оказывается автоматически равным единице по модулю: dl .
1. (8.9.30)
(1)
Мы видим, таким образом, что скорость движения по изотропной геодезической в любом гравитационном поле автоматически равна скорости света (единице в выбранной нами системе единиц). Однако это верно лишь при локальном измерении скорости света. В самом деле, если наблюдатель расположен в ином гравитационном поле, чем то, в котором распространяется в данном конкретном случае свет, время наблюдателя будет течь в ином темпе, чем время на траектории луча света (а последнее будет течь по-разному в разных частях траектории!). Мы эффективно приходим тогда к выводу об изменении скорости света в гравитационных полях. Некоторые аспекты этого эффекта обсуждаются в статье Зельдовича и Новикова в Эйнштейновском сборнике (1966).
Отметим теперь полезные соотношения
A0 = —--Ai (8.9.31)
Soo Soo
и
Ai = - bi}Ai + Ac, (8.9.32)
Soo
вывод которых оказывается особенно прост, если воспользоваться приемами типа
А^^ф» = А«е„-А<ы
Soo Soo
Подобным же образом
g°*g(H>______
Soo Soo
и
nn ^ I A I SOigOj
(8.9.34)
(і + g0i8V gv). (8.9.35)
' Soo /
Пользуясь этими соотношениями, а также
Eijk = УЬ (8.9.36)
нетрудно получить в произвольных координатах равенства
AvP* = AtBt — (AB), (8.9.37)
где
At = -S-, (АВ) =BiiAW; (8.9.38)
І goo
304
[AB ]i = EijhAWK (8.9.39)
Переходя от метрического тензора к ^'-матрицам, заметим, что хронометрически инвариантная матрица
Yo
Y t
:=Р
(8.9,40)
Igoo
в квадрате дает единицу:
P2 = I. (8.9.41)
Поэтому для удобства можно выбрать обычную дираковскую калибровку
и положить U 0
0
0 1 о
0 0—1 0 0 о
(8.9.42)
Хронометрическая векторная матрица yi обладает тогда свойствами
yjyi — 2g*’I = —26**1, (8.9.43)
и
YiP + Pv = 0. (8.9.44)
Для эрмитизации введем новые величины:
аг = Py1. (8.9.45)
Очевидно, эти матрицы будут также составлять хронометрический вектор; для них, вместе с тем:
а*а* + а*а* = 2ЬЩ. (8.9.46)
Принятые обозначения оказываются близкими к первоначальным ди-раковским [см. (Дирак, 1958)]. Все новые матрицы можно считать эрмитовыми.
Перейдем к локально геодезической системе координат, в начале которой
goo = I, gio = gi0 ^ о, 4I
6« = bij = б Ji. /
(8.9.47)
Рассмотрим сначала следующее предположение. Пусть везде локально можно обратить сразу все Y-матрицы в постоянные матрицы Дирака. Иначе говоря, пусть Yjx, V = 0 в некоторой точке в какой-то системе координат. Так как ковариантная производная Y-матрицы является однородной комбинацией ее обычных частных производных, то в этой точке мы найдем Yu; v = 0; однако это будет верно в любой системе координат ввиду тензорного характера ковариантной производной 4-вектора. Однако, по предположению, мы можем, хотя и локально, но в любой точке найти такую систему координат, чтобы в ней у v = 0. Поэтому следствием нашего предположения будет ковариантное постоянство у-матриц во всем мире! Поэтому и вторые ковариантные производные Y-матриц будут повсюду равны нулю. Тогда на основании равенства (8.6.31) должен равняться нулю тензор кривизны Римана — Кристоффеля; иначе говоря, пространство-время должно быть плоским. Тем самым мы доказали важное утверждение, что в искривленном мире невозможно с помощью преобразования координат даже локально сделать постоянными сразу все четыре у~матРИ1Р>1-Однако из соотношений (8.9.47) и (8.9.40) видно, что в локально геодезической системе при выбранной калибровке матрицы Yo эта матрица