Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мицкевич Н.В. -> "Физические поля в общей теории относительности" -> 127

Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.

Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности — М.: Наука, 1969. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): fizicheskiepolyavobsheyteorii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 141 >> Следующая


и с помощью него детерминант

Ъ = Det bij = (DetЪ*!}-* (8.9.13) *

302

можно записать как

Ь~1 = — ЬЩЩтп SikmSjln = о!

1 •• ь,

= ——7-gl]ghlgmneaikme0jin = —g-'-goo, Ol

так что

g

goo

На основании равенства (8.9.11) имеем:

д /_1_\ ____________g_ Г 1 Og00

\Ь )~ goo L

bij = —b-

dgi}

Представляя goo как

^goo = —g IXQgvodgtlv,

легко найти dgoe

-JgTJ = —giogjo, так что, учитывая

5^r1 - <Г-1 , dgii ~г '8iu

находим окончательно

giogjo

goo L g dgii

gOO'

dg~

dgi з

"I-

13 J

bij '¦— •

goo

’ gij•

(8.9.14)

(8.9.15)

(8.9.16)

(8.9.17)

(8.9.18)

(8.9.19)

(8.9.20)

Это и есть ковариантный метрический 3-тензор, обратный (8.9.10). Поскольку, как мы видели,

A»+-+(AuA*), (8.9.21)

дифференциал координат распадается на следующие хронометрические величины:

dx(dt,dli). Здесь

goadxa

dt ='

Ylfoa

(8.9.22)

(8.9.23)

хронометрически инвариантныи интервал времени и dli = dx1

(8.9.24)

хронометрический вектор дифференциала координат. Квадрат последнего, очевидно, следует записать с помощью нового метрического тензора:

dP = bijdVdV; (8.9.25)

тогда квадрат 4-мерного интервала принимает вид

г ds2 = §Vv dx* dxv = dt2 — dl2. (8.9.26)

303

(rf.9.27)

Хронометрический вектор 3-мерной скорости dx{

квадрат которого равен dl2

bUUiUi = -, (8.9.28)

в случае движения с фундаментальной скоростью (скоростью света), когда ds2 = 0, (8.9.29)

оказывается автоматически равным единице по модулю: dl .

1. (8.9.30)

(1)

Мы видим, таким образом, что скорость движения по изотропной геодезической в любом гравитационном поле автоматически равна скорости света (единице в выбранной нами системе единиц). Однако это верно лишь при локальном измерении скорости света. В самом деле, если наблюдатель расположен в ином гравитационном поле, чем то, в котором распространяется в данном конкретном случае свет, время наблюдателя будет течь в ином темпе, чем время на траектории луча света (а последнее будет течь по-разному в разных частях траектории!). Мы эффективно приходим тогда к выводу об изменении скорости света в гравитационных полях. Некоторые аспекты этого эффекта обсуждаются в статье Зельдовича и Новикова в Эйнштейновском сборнике (1966).

Отметим теперь полезные соотношения

A0 = —--Ai (8.9.31)

Soo Soo

и

Ai = - bi}Ai + Ac, (8.9.32)

Soo

вывод которых оказывается особенно прост, если воспользоваться приемами типа

А^^ф» = А«е„-А<ы

Soo Soo

Подобным же образом

g°*g(H>______

Soo Soo

и

nn ^ I A I SOigOj

(8.9.34)

(і + g0i8V gv). (8.9.35)

' Soo /

Пользуясь этими соотношениями, а также

Eijk = УЬ (8.9.36)

нетрудно получить в произвольных координатах равенства

AvP* = AtBt — (AB), (8.9.37)

где

At = -S-, (АВ) =BiiAW; (8.9.38)

І goo

304

[AB ]i = EijhAWK (8.9.39)

Переходя от метрического тензора к ^'-матрицам, заметим, что хронометрически инвариантная матрица

Yo

Y t

:=Р

(8.9,40)

Igoo

в квадрате дает единицу:

P2 = I. (8.9.41)

Поэтому для удобства можно выбрать обычную дираковскую калибровку

и положить U 0

0

0 1 о

0 0—1 0 0 о

(8.9.42)

Хронометрическая векторная матрица yi обладает тогда свойствами

yjyi — 2g*’I = —26**1, (8.9.43)

и

YiP + Pv = 0. (8.9.44)

Для эрмитизации введем новые величины:

аг = Py1. (8.9.45)

Очевидно, эти матрицы будут также составлять хронометрический вектор; для них, вместе с тем:

а*а* + а*а* = 2ЬЩ. (8.9.46)

Принятые обозначения оказываются близкими к первоначальным ди-раковским [см. (Дирак, 1958)]. Все новые матрицы можно считать эрмитовыми.

Перейдем к локально геодезической системе координат, в начале которой

goo = I, gio = gi0 ^ о, 4I

6« = bij = б Ji. /

(8.9.47)

Рассмотрим сначала следующее предположение. Пусть везде локально можно обратить сразу все Y-матрицы в постоянные матрицы Дирака. Иначе говоря, пусть Yjx, V = 0 в некоторой точке в какой-то системе координат. Так как ковариантная производная Y-матрицы является однородной комбинацией ее обычных частных производных, то в этой точке мы найдем Yu; v = 0; однако это будет верно в любой системе координат ввиду тензорного характера ковариантной производной 4-вектора. Однако, по предположению, мы можем, хотя и локально, но в любой точке найти такую систему координат, чтобы в ней у v = 0. Поэтому следствием нашего предположения будет ковариантное постоянство у-матриц во всем мире! Поэтому и вторые ковариантные производные Y-матриц будут повсюду равны нулю. Тогда на основании равенства (8.6.31) должен равняться нулю тензор кривизны Римана — Кристоффеля; иначе говоря, пространство-время должно быть плоским. Тем самым мы доказали важное утверждение, что в искривленном мире невозможно с помощью преобразования координат даже локально сделать постоянными сразу все четыре у~матРИ1Р>1-Однако из соотношений (8.9.47) и (8.9.40) видно, что в локально геодезической системе при выбранной калибровке матрицы Yo эта матрица
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 141 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed