Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотическими членами: ф^ ~(e(a))1Tl°S Ла = 2l Г
Функция -4as(X, Р) является при этом гладкой и подчиняется оценке (5.113), если парные импульсы достаточно велики, {X, Р}^Й)(+). При малых относительных импульсах, когда {X, Р}^2)(~\ оценочные функции са и ср в этом неравенстве зависят от импульсных переменных \ка\ и Ifcpl. Детальное описание Ааа в этом случае может быть получено с помощью, асимптотических представлений для Ф(а, Ь, х) при больших значениях параметра а. Мы не будем приводить здесь подробные формулы при \ка\ ~+ 0. Отметим, что, в согласии с равенствами
§ 3. АСИМПТОТИКА В НАПРАВЛЕНИИ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
253
(5.8) и (5.9), функции са убывают, если частицы пары а заряжены одноименно, па>0, и растут, как 1/са|~1/2, в случае кулоновских потенциалов притяжения, па < 0.
Итак, мы полностью рассмотрели случай, когда пространственная переменная расположена в области ?20, отвечающей сильно разделенным частицам.
Плоские волны в Йа. Если точка X переходит в область Йа, где близки частицы пары а, то для сшивания асимптотических решений следует использовать новые эталонные гамильтонианы, которые адекватно описывают поведение решения при сближении частиц на небольшие расстояния. Как мы. видели в предыдущем параграфе, малым параметром, по которому следует вести разложение потенциала у(а)(Х), является в этом случае отношение \ха\\уа\~1. С точностью до,членов порядка 1ха11г/а1"2 в Йа справедливо асимптотическое равенство
У(а> (X) = (ха, уа) + %в) Ы + О (| ха \| уа Г2),
(а)
где потенциал иа , описывающий взаимодействие в паре а, зависит от переменной уа как от параметра, а слагаемое v(?){ya) отвечает эффективному взаимодействию этой пары с третьей частицей:
^С)Ы= 2^а)(^,ур)к=о.
При достаточно больших \уа\ потенциал v*a совпадает с чисто кулоновским потенциалом Паа/\уа\ из (5.101).
В соответствии с этим замечанием мы введем в рассмотрение модельный трехчастичный гамильтониан, от-
~(с
вечающии старшим членам асимптотики потенциала иа в области Йа:
НЙ> = Н0 + УЙ\ УЙ} = + %0). (5.125)
Чтобы описать строение функции Грина этого оператора, рассмотрим двухчастичные гамильтонианы Ьа) и Ьа\ которые порождаются потенциалами и соот-
ветственно.
Оператор Ъаа) зададим соотношением
Ы = (- Д*а + № <*«, Уа)) 1Ы-Будем считать переменную уа параметром, который опре-
254 ГЛ V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
деляет радиус обрезания а(1+ |#а|)У/кулоновского потенциала при \ха\ >а(1 + \уа\)\ Волновые функции этого оператора можно изучить с помощью модифицированного уравнения теории возмущений (5.20). Заметим, что величина потенциала па\ха\~1 вне шара \ха\ < а(1 + 1#а1)\ в котором оператор равен свободному гамильтониа-
ну Ь0, стремится к нулю при I г/» I °°. Сделаем преобразование масштаба ха|уа\У-а-ха.В результате радиус обрезания станет конечным, а энергия рассеяния ка и эффективный заряд па примут новые значения:
*Ь-аа|У«Г*?. па=а\уаГпа, (5.126)
которые стремятся к бесконечности при |г/а1-^°°. Из формул (5.20) — (5.24) следует тогда, что волновые функции г|4а) (X, ка) этого гамильтониана можно представить в виде суммы
г|4а)(Х, ка) = ^(^^)(фс(^, ка) + №(Х', к'а)\ Х' = {*а, Уа),
где первое слагаемое совпадает с- кулоновской волновой функцией, параметры которой определяются равенствами (5.126), а второе отвечает короткодействующему потен-
па
циалу. Последний равен потенциалу г—Г %а (^а, У а) из
\ха\
(5.104), взятому с обратным знаком, т. е. представляет собой компенсационный потенциал, который обрезает ку-лоновский потенциал на малых расстояниях, 0<|ха1^ <а(1+\уа\)\ Согласно формулам (5.20)—(5.23) асимптотика фуНКЦИИ 1|4а) При \ка\ \уа\У'1[а) ~+ 00 ИМввТ ВИД
суммы искаясеннои. плоской и сферической волн, причем амплитуда последней имеет малую величину 0(\уа\~*) вне направления рассеяния вперед, /»а) (ха, Уа, ка) =* = 0(\уа\-*), № (X, ка) ~
~* №.. *) + + /<?> (^)еХр{<|*")|х?| + <В,»)]. (5.127)
\ха\
Если же относительный импульс ка уменьшается настолько, что \ка\ |г/а|у 0, то кулоновские параметры не-
§ 3. асимптотика в направлении рассеяния вперед 255
реходят в квазиклассическую область. Асимптотика 1|4а) будет определяться тогда точным решением г|)с0га, ка), которое в этом случае имеет достаточно сложную форму. Мы не будем описывать здесь все асимптотические режимы, а ограничимся ссылкой на формулу (5.7).
Если частицы пары а заряжены разноименно, то оператор Ьаа) имеет дискретный спектр. Однако при увеличении параметра а(1+\уа\У нижняя граница собственных
(а)
чисел — щ. стремится к нулю, так что ни одна из точек, скош> угодно близких к началу координат, не может принадлежать дискретному спектру Ьа\ начиная с некоторого достаточно большого |г/«|.
Оператор Ьа\ задаваемый равенством
(??'/) ы = (- АУа + Ж ы) / ы,
отвечает, как уже отмечалось, эффективному взаимодействию пары а с третьей частицей. В зависимости от суммарного заряда пары а кулоновская часть потенциала Уа* определяет притяжение или отталкивание. Если же заряды частиц компенсируются, то этот потенциал является короткодействующим. Строение волновых функций таких операторов мы уже описали в § 1.
