Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(-Д* + д0(Р)\Х\~1 - Р2)ФАХУ Р) = -АР(Х, Р). (5.115)
Здесь функция АР(Х, Р) определяется равенством (5.107). Решение этого уравнения, которое мы будем сшивать с эйкональным приближением (5.51), можно представить в виде
ФГ(Х, Р) =1нп [ ДР(Х, X', Р2 + /8) X
Х%Р{Х')Ар{Х\Р)аХ\ (5.116)
где /?р(Х, X', ъ) — функция Грина модельного гамильтониана Нр, а %Р — характеристическая функция особого направления, равная единице в ?2Р и гладко исчезающая, когда точка X выходит за пределы области рассеяния вперед.
По построению сумма = Ч^ + Ф р удовлетворяет уравнению Шредингера в окрестности направления рассеяния вперед с точностью до членов порядка ??~2. Следовательно, чтобы проверить выполнение условий сшивания, достаточно показать, что эта функция при ? «> принимает эйкональную форму.
Асимптотика функции Ф г. Исследуем асимптотическое поведение функции Фр при | ©о. Вначале выразим функцию Ар(Х, Р), стоящую под знаком интеграла в (5.116), через параболические координаты. С этой целью
250 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
воспельзуемся формулами (5.110)-—(5.113) и учтем равенство |(а) = l\P\\kJ-icos2Qa. + 0(Ц-2), в котором через cos6a обозначено отношение cos 6a = luj |М|~4. В результате получим представление
AF (X, Р) = ^ e^WF (?, М), (5.117)
где функция М) дается равенством
VF (?, М) = (1 + Р321 + Р123) с21 cos дг • cos 92 (иъ и2) X
хфГ(1(1), ^)фГ(1(2), *2)ф(зс)(1(3), 0(1 + о(1Г2)); 1(а) = ^с082еа.
Заметим, далее, что* как переменная интегрирования X', так и первый аргумент X функции Грина RP(X, X', Е + Ю) располоя^ены в окрестности направления рассеяния вперед QF. Поэтому при |Х| «> ядро RP(X, X', Е + Ю) можно заменить асимптотическим представлением (5.42). Интегрируя по частям относительно переменной g=IX — Х'|, можно убедиться, что интеграл по области, расположенной в окрестности точки X, при lgl^lXlv, v < 1/2, является гладкой функцией X. Из формулы (5.117) вытекает, что эта функция может быть представлена в виде произведения плоской волны на стремящийся к нулю множитель порядка О (\ X |~~v')i v'>0, и, следовательно, является поправкой высшего порядка к эйкональному приближению LC(X, Р).
Рассмотрим оставшийся интеграл по внешности шара радиуса IXlv с центром в точке X. Заметим, что основной вклад в этот интеграл дают точки, в которых выполняется условие \Z — Z'\ > |М —if'I, где Z и Z' — проекции точек X и Г на ось Р, а М и М' — проекции этих точек на ортогональную к вектору Р плоскость. Пользуясь этим условием, разложим разность IX —ХМ в рад по малому параметру \Z — Z'\"1\М' — М'I:
и выразим затем старшие члены через параболические переменные. Нетрудно видеть при этом, что старшие слагаемые. AF при |Xf оо порождаются точками Z', удовлетворяющими неравенству Z' ^ Z — Zv, v < 1. Делая
§ 3 АСИМПТОТИКА В НАПРАВЛЕНИИ РАССЕЯНИЙ ВПЕРЕД 251
замену переменных q = М\ geR5, придем к
асимптотическому равенству
Ф,(Х, Р) ~ецх>р)ФАЪ, М), (5.118)
где функция Ф*> задается интегралом
00 (
M)=e№HimJd|'|'5/2 \ exv\-i\P\YW(q,M)-
~ 1 TjTT ln f + 1 '-^Г1' - еИ F* M') e (g). (5.119)
Здесь через e(q) обозначена гладкая срезающая функция, равная единице внутри единичного шара \q\ ^1 и нулю в некоторой окрестности его границы.
При малых | функция Ф*-(?, М) не стремится к нулю, когда |Х1 оо. Поэтому можно сказать, что эта функция «подправляет» нулевое приближение в окрестно-
сти рассеяния вперед. Чтобы найти асимптотику Ф*. при ^_Г^ °°, сделаем в интеграле (5.119) замену переменной У§д = д'. После простых преобразований получим асимптотическое представление
ФАХ, P)~Fas(9, Ж)|Х|-5/2ехр{^|Х||Р| + ^0(Х, Р)}.
«(5.120)
Итак, при удалении от особого направления Ф*- принимает форму сферической волны. Амплитуда этой волны имеет сильную особенность в направлении рассеяния вперед:
(5.121)
Коэффициент /о является гладкой функцией угловых переменных М и не зависит в старшем порядке от угла между векторами X и Р:
оо
/0(9,М)~ lim [dlT'^dq'e-^'-^X e^O.eglOo
XVF (g't jjf') exp{- i \P | V?(q', M)-i^ln\ q' |}.
(5.122)
252
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
На этом мы закончим построение функции 4fas(.X, Р) в направлении рассеяния вперед. Мы установили, что эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера с точностью до членов порядка |XJ~1_V, v>0, и в окрестности направления рассеяния вперед в старшем порядке имеет вид произведения
?а8(Х, Р) = в**' Р)Фаз(Х, Р), (5.123)
где функция Фа8(Х, Р) равна сумме
Фав(Х, Р) = IIq?C)(S(a), ка) + ФИ*, Р)-а
При удалении точки X от этого направления переходит в сумму эйкональных приближений, отвечающих плоскому и сферическому эйконалам. При этом функция Ла8, определяемая равенством (5.107), в этом случае подчиняется оценке
14» (*, Р) |< (1 + 11 ка \ |Ij-1-^ о < v < 1.
(5.123')
Опишем далее функцию W&s в остальных особых областях. Если точка X выходит за пределы области рассеяния вперед, но еще не попадает в эйкональяую область,., то мы положим функцию Ч^а равной произведению плоской волны на двухчастичные функции фа\ т. е.
^as (ХА Р) = YP (X, Р). (5.124)
Если, однако, для некоторых пар а импульсы или координаты попадают в эйкональную область, то соответствующую функцию фа* мы будем заменять старшими
