Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, эйкональные -формулы с хорошей точностью передают поведение волновой функции в области Й0-
Если точка {X, Р} выходит за пределы iZ)e, эйкональ-ная формула .(5.106) теряет смысл. В этом случае мы опишем Тав(Х, Р) с помощью специальных функций.
Пусть Sem — поверхность в Rem, которая состоит из точек X и Р, лежащих на единичной сфере |Х|=1, |Р| =1. Обозначим через 3)в множество точек на ^ст? определяющих направления импульсных и координатных переменных, где приближение эйконала перестает быть верным. Ясно, что это множество имеет нулевую меру в пределе |Х| -+ оо. В этоц смысле можно сказать, что приближение эйконала действует почти во всех направлениях конфигурационного пространства.
Рассеяние вперед. Предположим, что пространственная переменная X лежит в области Q0. Построим TastX, Р) в области рассеяния вперед SDF. Так как в области QQ потенциалы взаимодействия являются чисто кулоновскими, то, по аналогии с (5.66), мы определим нулевое приблия^ение для \Рas (X, Р) в факторизованиом
§ 3. АСИМПТОТИКА В НАПРАВЛЕНИИ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
247
виде:
= ехр {I (X, Р)} Д ч4с) (1(а), ка)г (5-109)
а
где двухчастичные функции ф^ выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию равенствами (5.1), (5.2). При этом функция ч^р непрерывно переходит в эйкональные приближения (5.51), определяющие старшие члены асимптотики \Р0(х, р) при |(а) °°.
Однако эта функция не удовлетворяет условиям сшивания, так как она недостаточно точно передает поведение решения уравнения Шредингера в окрестности направления рассеяния вперед. Это обстоятельство находит свое отражение в медленном убывании функции ар, задаваемой равенством
ар(х, р) = (на-р2)У;>(х, р).
Действительно, продифференцируем произведение (5.104), учитывая при этом, что функции ехр {г {ка, ха)} ф?с\&а\ ка) удовлетворяют двухчастичному уравнению Шредингера с потенциалами па\ха\~\ Получим представление
ар (X, Р) = 2 ехр {» (Р, X)} (1 + Р231 +
Р321) С21 X
X фГ(1(3), к3)(^\е\ к,), УЖ2<р(2сЧ1(2\ *,)), (5.110)
где участвуют производные первого порядка функций Ф(с). Символы Р231 и Р321 обозначают операторы циклической перестановки номеров частиц. Заметим в связи с этой формулой, что если заряжена только одна па^ра частиц, например (12), то функция а? обращается в ноль, поскольку тогда фхС) = ф(2с) = 1 и асимптотика Ч'о, в согласии с формулой (5.66), правильно описывается функцией Ч^0).
Так кай функция ф(с) зависит от ха посредством параболической координаты |(а), мы можем записать скалярное произведение градиентов в виде
УК2ср<0) = ф^фГ (УХ1^\ УХ2|(2)), (5.111)
где через фаС)' обозначена производная функции фа} (?(а\ ко) по первому аргументу. Вычисляя затем производные параболических координат, придем к
248
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
соотношению
где через иа обозначена проекция вектора ха на плоскость, ортогональную вектору ка, а переменные ?(а), cos021 и вектор вх* задаются равенствами
cos921 = (к2г кг)г ?(а) = \ха\ + {ха% ?а), а = 1, 2, 3.
Вспоминая, наконец, свойства функций ф(с), описанные в § 1, получим неравенство
|AF{X, Р)|< 2 са(ЫЧ№0ЫЫ(1 + а + \хаJ)"1 X
Х(1 + \хр\)~1(і+ \ка\Є)уі(і+ \к>\1т)-\ (5.113)
которое показывает, что при ограниченных ?(а) (а = = 1, 2, 3) функция АР убывает не быстрее кулоновского потенциала и поэтому не может быть опущена как поправка высшего порядка. Если же ?(а) «> (а = 1, 2, 3), то эта функция имеет порядок 0(|Х|~1_У), V >0, и может считаться малым возмущением.
Таким образом, мы должны «подправить» в
направлении рассеяния вперед так, чтобы получить функцию, удовлетворяющую уравнению Шредингера по крайней мере с точностью до членов порядка 0{\Х\~{~*), V > 0. С этой целью рассмотрим более детально уравнение Шредингера в. окрестности направления рассеяния вперед. Введем параболические координаты и ?: ?
ляющая вектора X по направлению вектора Р. Через М обозначим проекцию вектора X на плоскость К5, ортогональную Р, так что Хг = Хг + М2, М2 = Раскладывая дальнодействующий потенциал и(а)(Х) в окрестности направлений рассеяния вперед по степеням малого параметра получим представление и{а)(X) = УР(Х) + + 0(|?"~2), где УР(Х) — сферически симметричный куло-
21
— кх ctg 0,
'2 а
\x\-z t \x\ + z
2 * b 2
¦j где через Z обозначена состав-
§ 3. АСИМПТОТИКА В НАПРАВЛЕНИИ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
249
новский потенциал в К6: УР(Х) = д0(Р)/1Х|. При этом эффективный заряд qo(P) меняется в зависимости от начального направления потока частиц согласно равенству
д0 (Р) = | Р | 2 ПГ~~г Через Нр мы обозначим модельный
а I «I
гамильтониан, порожденный этим потенциалом,. НР = = Н0 + Ур.
Зададим функцию Ч^Х, Р) в окрестности направления рассеяния вперед в виде суммы
?аз (X, Р) = Но) (X, Р) + (X, Р) (5.114)
и будем искать функцию Ф*. с таким расчетом, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера с точностью до членов порядка |Х|~1-У, v>0. Подставляя эту сумму в уравнение Шредингера и отбрасывая члены порядка |?~2, получим для определения ФР неоднородное уравнение Шредингера со сферически симметричным потенциалом 1?Р(Х):
