Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
на = н0 + у(а);( у(а),= 2^а).
а
Этот оператор можно интерпретировать как гамильтониан системы трех частиц, которые движутся на фоне малых по величине кулоновских возмущений. Подчеркнем, что величина возмущения и(а) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора постоянной экранирования а.
Мы будем действовать по следующему плану. В начале этого параграфа мы построим гладкую ограниченную функцию Ч?йв(Х, Р), которая определена во всей области изменения переменных, совпадает с искаженными плоскими волнами вдали от особых направлений и удовлетворяет уравнению Шредингера для оператора На с точностью до быстро убывающих при |Х| °о членов. В результате мы получим приближенную волновую функцию для На, которая правильно описывает эффекты дальнодействия кулоновских потенциалов. Эта функция 16*
244
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
может быть выбрана в качестве нулевого приближения для волновой функции ЧГ0(Х, Р), о котором мы упоминали в предыдущее параграфе. Повторяя приведенные там вычисления, можно получить эйкональные представления для слагаемых Wa и Ч^р, отвечающих процессам перерассеяния частиц. • Следующая задача заключается в исследовании асимптотики этих слагаемых в особых областях и будет рассмотрена в § 4.
Приближенная волновая функция W^iX, Р) зависит от координат X и импульсов Р частиц. Мы будем рассматривать ее как функцию одной переменной {X, Р}, изменяющейся в области Rcm ~ R6 ф R6. Эту область мы разделим на части, в которых функция W^iX, Р) задается различными аналитическими выражениями. При этом задача состоит в том, чтобы доопределить эту функцию в тех областях, где не могут применяться эйкональные формулы. Последние же теряют смысл не только4 при ограниченных значениях параболических координат |(а), т. е. в направлении рассеяния вперед, но и при относительно малых импульсах, удовлетворяющих условиям типа (5.6). Именно по этой причине ограничения необходимо накладывать не только на координатные, но и на импульсные переменные.
С учетом ?тих замечаний мы введем в рассмотрение следующие характеристические области. Областью, отвечающей конечным относительным импульсам 3)а+\ мы будем называть множество точек в Rcm, удовлетворяющих неравенствам
Множество точек, удовлетворяющих противоположному неравенству, мы будем называть областью нулевых импульсов для пары а и обозначать через Пере-
сечение областей где всем парам отвечают отлич-
ные от нуля импульсы, будем обозначать через 3)(+),
Областью рассеяния вперед пары а будем называть множество точек 3)^Р, в которых выполняются неравенства
\U > (a0 + ?(a))-1/2+v, v>0.
(5.105)
a
l(a)<lxjv, 0<v<l/2.
(5.105')
Через 3)f будем обозначать трехчастичную область рас-
§ 3. АСИМПТОТИКА В НАПРАВЛЕНИИ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД 245
сеяния вперед, где переменные |(а) ограничены этими неравенствами при всех а. Мы будем также называть областью рассеяния вперед множество точек в конфигурационном пространстве которые удовлетворяют перечисленным выше условиям: при фиксированных импульсных переменных.
Эйкональной областью 2)е мы будем называть множество точек из которые подчиняются неравенствам, противоположным (5.105), (5.105'). Таким образом, в эйкональной области должны быть относительно большими как начальные импульсы так и параболические координаты ?(а).
Перейдем к описанию функции Чга8(Х, Р). Предположим сначала, что точка {X, Р) расположена в эйкональной области Й>е. В этом случае мы зададим Чга8(Х, Р) с помощью асимптотического разложения (5.46), (5.48) при 2=(Х, Р), где следует взять некоторое конечное число членов ТУ, N> 1:
^а8(Х,Р) = ?ею(Х1Р). (5.106)
Функцию ЧгеЛГ) запишем в виде произведения плоской волны на фазовый множитель:
(x, р) = ехрО (x, р)} (X, р),
который дается равенством
Ф<"} (X, Р) = ехр {1ТУЫ (X, р) + Я(X, р)}.
Если все частицы хорошо разделены, Х^Й0, то куло-новская фаза WдiS{X, Р) равна сумме (5.52). Если же точка наблюдения расположена в Йа, X е &а1 то соответствующее слагаемое в (5.52) заменяется величиной
г
™{а) = 2ЩЫ\к«\$а)> (5Л06')
где Х0, Х0 = {го, М}= [ха\ Уа0))| — произвольная точка из Й0, в которой (а40),&а)<0. При этом фаза Т^(а)
246
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
совпадает с Wia\ когда X лежит в ?0«, ?0a = R6\?a. Поправочное слагаемое 8WN выражается через эйкональную фазу W&& рекуррентными формулами (5.49), (5.49'). Отметим, что фаза Wia) подобрана с таким условием, чтобы функция оставалась непрерывной при переходе
точки X из чисто кулоновской области QQ в область Йа, где кулоновский потенциал экранируется с помощью
ФУНКЦИИ %а(Х).
Обозначим через A&S(X, Р) результат применения оператора Н0 — Р2 к функции 4ras(Ar, Р):
(Has - P2)Tas(X, р) = А&&(Х, Р). (5.107)
Отметим, что порядок функции Ла8(Х, Р) при |Х| -*¦ оо характеризует степень приближения функции Ч^Х, Р) к истинному решению уравнения Шредингера.
Из формул (5.48), (5.106) вытекает, что в эйкональ-ной области 2De функция Ла8(Х, Р) является гладкой, быстро убывающей и вместе со своими производными подчиняется оценке
\Aas(X,P)\^C^a + ^\ka\ta)yN, ЛГ>1. (5.108)
