Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Решение первого уравнения можно представить в виде интеграла
Ф(1)(Х) =
= - lim f Rea(X, Х\ Е + гг) va{xa) ^ {х^) <?(Х'>р) dX'.
(5.75)
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 227
15*
Так как это уравнение должно выполняться лишь асимптотически, при \уа\ 00, интегрирование относительно X'
МОЖНО ВеСТИ ТОЛЬКО ПО области, Где \Уа — l/a|^|l/a|V, V<1.
Для того чтобы сшить функцию Ф(1) с эйкональным приближением (5:58) и найти коэффициенты Ca(Afa), исследуем асщштотику интеграла (5.75) при |#а1-^°°. Заметим сначала, что в области Й параболическая координата может быть представлена в виде суммы
= + с1а (а*, уа -%> + 0 (| ха |21 уа(5.76)
где переменная Й) = 15ia^a | — sla (кг, z/x) является старшей при всех направлениях вектора уа в силу неравенства | (#а, Jfa — \) | < ^la} | Д?а 11 Г1 • Отсюда ВЫТр-кает, что при I г/ос I -*¦ оо функция фс1* с точностью до членов порядка 0(|z/a|~v), 0<v<l, зависит лишь от координаты .
Поскольку потенциал va(xa) является быстро убывающей функцией, главный член асимптотики интеграла (5.75) при \ха\ 00 порождается той частью области интегрирования, где выполняется неравенство |я4|<|#аГ\ v<l/2. Вспоминая асимптотическую формулу (4.17), которая выполняется при указанных выше условиях, и интегральное представление для амплитуды рассеяния (4.18), получим соотношение
ф(1) р) _ f*f*'**)$<i)ix, Р), (5.77)
\ха\
где функция Ф(1) задается интегралом
оо
Ф<1)(Х' Р) "SiJdtte^u^, ра, t) (5.78)
о
и
tti *) =
= lim f dy'*rca {у*, Уa, E-t*+ Ы) е<™'*\™ (®\ к,).
Заметим, далее, что, поскольку переменные уа и у а расположены не слишком далеко одна от другой, \уа — У а I =
= 0(|#a|V), ФУНКЦИЯ
Га^ асимптотически совпадает со
228 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ
свободной функцией Грина. Предположим, что ^а)_> 00 • Тогда в старшем порядке функция фс1* будет зависеть только от уа, и поэтому данную функцию можно вынести за знак интеграла. В результате интеграл явно вычисляется, и мы получаем представление
Подставим это выражение в (5.78). При \ха\ 00 путь интегрирования по t можно замкнуть в верхней полуплоскости с точностью до членов порядка 0(Ual~1_v), v > 0. Вычисляя интеграл по вычетам, получим формулу
Ф« (X, Р) ~ /~Е\? С&\ Ю- (5-79)
Заметим далее, что в области Q а переменная \<х с точностью до членов порядка 0(\ха\2\уа\^) выражается в терминах векторного поля Ма равенством
где Йа) = | щ | — (и?, кг) sign 51а.
Здесь через и" обозначено векторное поле, задаваемое соотношением
«*?-|^Г(|*ь|уа-ра|^|).
Так как ?ia)^oo, мы можем заменить функцию фс1} асимптотикой. Получим в старшем порядке формулу
Ф(1) (X, Р) ~
_ /«(*,.*«) ехр [iYEZa + i№« + ЩгInIМаI), (5.80)
\xa\
где слагаемое оИ^а) зависит только от угловых переменных Ма:
6Й? = 4l In I Ма Г' I I Б?, Ill = 2|^]-
Рассмотрим теперь эйкональное приближение Та на границе области Q. Заметим, что старшее слагаемое эйконала Za В Qa ОПреДеЛЯеТСЯ ВеЛИЧИНОЙ Za0 = Ipal l^al"1««.
Для кулоновской фазы в старшем порядке получим
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 22Й
где
Отметим, что формула (5.82) теряет смысл в областях, где фаза обращается в бесконечность.
Рассмотрим далее уравнение (5.74). При \уа\00 функция <?1(*'р)фс2) имеет следующий асимптотический вид:
+ КкаЧ г*) - щг 1п 21 кг 11 з1аУа |), (5.83) где через [с обозначена кулоновская амплитуда, обрезан-
в этом случае следующее представление:
= - jj^j In I Ma I + W™. (5.81)
Здесь
и через ?ia) обозначена параболическая координата
йв> = |*П + (4ao), 4ao) - *x -
Подчеркнем1 что фаза зависит только, от координа-
ты Ма на поверхности Za = const и не меняется при движении точки X по траектории с направляющим вектором VZa. При этом вся зависимость от величины вектора Ма сосредоточена в первом слагаемом (5.81), а фаза является функцией лишь угловых переменных Ма.
Сравнивая асимптотические представления (5.58) и (5.80) и учитывая при этом соотношение (5.81), придем к заключению, что при ?{а)->оо амплитуда СаШа) дается равенством
Са(Ма) = /а(*а, ка) ехр {ш^1п|Ма| + i6W?\, (5.82)
230 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ная в направлении рассеяния вперед:
U (С*/*, К) = (1 — %1 (lia)) /с (Cia, Йа = I sxaUa I — (&i» 5ia#a),
P$ = ~ Sai I I #a + Са1ръ kai = + Cal | &i | Slaya.
Обозначим через Фас функцию, которая получается умножением правой части (5.83) на |slayal, и представим решение уравнения (5.74) в виде
Ф(2)(Х, Р) = к1аг/а|-ЧФ(2)(Х, Р) + 0(\xj lyah2)),
где функция Ф(2) дается формулой (5.75), в которой следует произвести замену Фс^^фас* Асимптотика получившегося интеграла при \ха\ 00 может быть исследована таким же путем, как мы это сделали при вычислении аналогичного интеграла (5.75). Справедлива асимптотическая формула
Ф(2) (X, Р) ~ U (хи, к<?) U (?1в, ^) | з1аУа Г11 *а Г1 X
X exp [iVEZal + ir\1ln\Mn\ + iWial)), (5.84)
где фаза РР^^дается равенством
Wfl) = - ru In 21 Vial sin S„, cos S„ =
Рассмотрим теперь эйкоыальное приближение Wai в области Йа. Заметим сначала, что импульсы &ad и Pao с точностью до величин порядка 1#а||г/а1~2 совпадают здесь с импульсами ка1 и pai, определяющими двукратный эйконал Zal,
