Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где
ФВА _ to ы »р{-1ЫЫ + »М%Ы) Рл).
Кулоновские фазы определяются согласно (5.98) с = еа(ра) + и|. Амплитуды г в а являются гладкими ограниченными функциями во всех направлениях рассеяния г/р.
Наконец, опишем асимптотическое поведение волновой функции Та(Х, рА) в области Q0, где все частицы далеки одна от другой. Предположим, что для всех р = = 1, 2, 3 справедливы условия Upl |Х1-1 > б > 0. В этом случае ТА(Х, рА) имеет вид искаженной шестимерной сферической волны с ограниченной амплитудой:
Ча{Х,Ра)~ FoA(X, рА)-—ч--
(5.103)
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
241
При малых значениях bpllXh1, т. е. при приближении к областям Йр, эта амплитуда имеет довольно сложное поведение. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим сначала функцию Грина (5.71), которая согласно (5.95) задает решение уравнения Шредингера в Йр. Аналогично (4.24), асимптотика этой функции может быть выражена через асимптотики (5.14) функций гр и гр с помощью метода перевала. При этом критическая точка определяется из уравнения
•^{\хр-4\У1 + \у»-у»\УГ=1)-о
и задается равенством _ | *р - ^ I2
Соответственно показатель экспоненты становится равным iVllX-X'l. Если 1X1-*оо и Ьц||Х|-1>6>0, то асимптотика функции Грина принимает вид искаженной сферической волны в Е6. Такой же вид будет иметь и решение (5.95), которое можно тогда сшить с (5.103). Если же х$ становится слишком малым, так что У^о = = <9(|яр|-3/4), то функция Грина гр(#р, яр, ?) из (5.71) имеет аномальное асимптотическое поведение типа (5.8) или (5.9) и приведенные аргументы теряют силу. В этом случае асимптотическое представление (5.103) .нужно модифицировать в соответствии с (5.8) и (5.9). Опираясь на эти соображения, можно показать, что если частицы пары р заряжены разноименно, щ < 0, то, в согласии с формулой (5.8), амплитуда развала F0A обращается в бесконечность при 0Р = 0, sin 0р = |Х|"1:
FQA (X, рА) ~ (sin 0БГ1/2 ехр (In | ЛР | - 1)} Л
tjr =-7=^Р-, (5.103')
а в случае кулоновского отталкивания она убывает как некоторая степень:
Fob ~ (SHlOp)", N>1.
Закончим на этом описание асимптотики функции ^л(Х, рА). Мы видим, что эта функция устроена почти
16 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
242
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
так же просто, как аналогичная функция для трех нейтральных частиц. Нужно лишь заменить плоские и сферические волны их искаженными аналогами. Конечно, определенные трудности возникают в системе заряженных частиц при описании волновых функций в направлении рассеяния вперед. Однако все особенности имеют двухчастичную природу и отвечают эффективному взаимодействию пары со свободной частицей.
§ 3. Асимптотика ^0 в направлении рассеяния вперед
В этом и следующем параграфах мы продолжим исследование волновой функции ЧМХ, Р). Мь! видели выше, что эйкональные формулы неправильно описывают асимптотику ЧГ0(Х, Р) в ряде направлений конфигурационного пространства, где фазы обращаются в бесконечность. Для построения асимптотики ЧГ0(Х, Р) в таких особых областях мы проведем сшивание решений уравнений в частных производных на основе метода параболического уравнения. Согласно этому методу в окрестности особых направлений следует выбрать характерные параметры, называемые локальными параболическими координатами, отбросить члены высшего порядка и решить оставшееся уравнение точно. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям сшивания, однозначно определяется путем сравнения его асимптотики при удалении от особого направления с соответствующим эйко-нальным приближением.
Искаженные плоские волны. Исследование асимптотики Ч'оСХ, Р) мы проведем в два этапа. Будем изучать сначала эффекты дальнодействия кулоновских потенциалов, а затем рассмотрим процессы перерассеяния, обусловленные взаимодействием частиц на близких расстояниях. Заметим в этой связи, что, как было показано в предыдущем параграфе, перерассеяние частиц происходит за счет тех частей потенциалов, которые сосредоточены в областях Йа (а = 1, 2, 3), где частицы сильно взаимодействуют. Напротив, в области Й0 частицы движутся почти свободно и их траектории лишь незначительно искажаются слабым по величине кулоновским полем. Поэтому парные потенциалы целесообразно разделить на две части, выделяя малый по величине дальнодействующий кулоновский фон:
»а (*а) = Яс (X) + г/аа) (X),
§ з. асимптотик! в направлении рассеяния вперед
243
(а)
так что соответствующее ему слагаемое Уа отлично от нуля лишь в области й0, где \ха\ >а(1 + 1г/а1)у, и равно там чисто кулоыовскому потенциалу:
иа(Х) = и%)(Х) + ^.и(Х).
(в)/^ , ~ /V* (5Л04)
Через %а(Х) обозначена характеристическая функция области йа, равная нулю за пределами некоторой окрестности этой области:
у (Х)= ' 1 ' * I (5.104')
%аК ' [О, |*|>а'(1 + Ы> , а'>а.
При этом в качестве такой функции можно также взять и любую функцию, которая не обязательно обращается в нуль за пределами области Йа, но достаточно быстро стремится к нулю при |1/а1~у00 — например, как
Мы будем называть иа короткодействующей частью потенциала иа(ха) и г4а)— дальнодействзьющей. Через На мы будем обозначать оператор энергии^ порожденный дальнодействующими частями потенциалов:
