Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрим поведение волновых функций в окрестности особых направлений в следующем параграфе.
Волновые функции Ч^Х,/^). Опишем, наконец, координатную асимптотику волновых функций У?А(Х, рА), которые отвечают процессам рассеяния связанной пары на третьей частице.
Согласно методу, использованному выше, мы будем искать волновые функции ЧГЛ(Х, рА) в областях йр (? = l, 2, 3), где частицы слабо разделены, в виде суммы падающих и рассеянных волн:
У а {X, рА) = фА (хА) ^ (уа, ра) + O?A (X, рА).
(5.93)
Функция г|)са) в этом случае описывает асимптотическое движение связанной пары а в кулоновском поле, создаваемом третьей частицей, и выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию равенствами (5.1), (5.2), где нужно подставить новые кулоновские параметры
Па Паа, Ха ~+ }Ja, К ~+ (5.94)
Решая уравнение (5.69) в области ??, получим для рассеянной волны ФРА интегральное представление
ф№(Х, рА) =
= lim J Щ (X, Х\ ЕА + гг) г|и (хА) №(?, Ра) dX\ (5.95)
Здесь через Щ обозначена функция Грина модельного
238
гл. v. системы заряженных частиц
оператора Нр, определяемого равенствами (5.69) —(5.71), в которые следует подставить новые параметры кулонов-ского взаимодействия пАз^] тгрр. Следующая задача состоит в том, чтобы шучить асимптотическое поведение интеграла в правой части (5.95). Это можно сделать таким же способом, как и в случае интеграла (5.75). Однако технически данная задача даже проще, так как функция г|)л (#а) быстро убывает при | хА | ->- оо# Это также приводит к тому, что в данном случае не возникает медленно убывающих слагаемых, которые описывают перерассеяния в областях при р Ф Аналогично системе нейтральных частиц, все медленно убывающие члены сводятся к сумме искаженных сферических и кластерных волн. Мы не будем проводить здесь детальные вычисления в доказательство этого утверждения. Необходимая для этого техника уже была описана на более трудном примере функций Фо. Приведем только окончательные формулы.
Рассмотрим сначала А в области Йа, где частицы пары а достаточно близки одна к другой, т. е.ув области, где происходит упругое рассеяние. Координатная асимптотика ЧГА(Х рА) содержит тогда лишь члены, отвечающие процессам упругого рассеяния и внутренней перестройки частиц пары а. Если при этом относительная координата уа третьей частицы не параллельна импульсу ра, то асимптотика 4я л описывается формулами
ча(х, ра)~щх, ра) + 2Фа'а(Х, ра), А'={а,}},
(5.96)
где первое слагаемое представляет собой искаженную кластерную плоскую волну:
щх,ра) =
= г|>л (хА) ехр и(ра, уа) + *«40>(уа, ра)} (1 + 0((Iе)-1)).
Суммирование ведется по всем внутренним состояниям паоы ос, и каждый член асимптотически равен искаженной кластерной сферической волне:
фа'а(х, ра)~
. ч схР{<1Ра'Цу«1 + 'ц,А' (Уа' Ах)} р ,7. п \ ~ 4'а' (ха)- |уа|-~ ра'а (уа, ра)-
(5.97)
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 239
Кулоновские фазы, искажающие плоскую и сферические волны, даются равенствами
(0) _ "асе ,| (^(а) iv а (Уа, Ра) = ~ ^у^|1П 2 I Ра> | | У а |>'
А (5.98)
1" = | Уа I - | У.. Р. |, | Ра' Г - *а (^) +
Амплитуды процессов внутренней перестройки Ра'а при Л/г^Л являются гладкими функциями угловой перемен-ной г/а. Амплитуды упругого рассеяния обращаются в бесконечность в направлении рассеяния вперед. Справедливо представление
Раа(У*, Ра) =/сл(уа, /?а)+7аа(^«, /?а), (5.99)
где /сА задается формулой (5.5), в которой кулоновские параметры следует заменить согласно (5.94). Слагаемое /аа, однако, также может иметь особенности в направлении рассеяния вперед, хотя и более слабые, чем (5.5). Дело в том, что эффективное взаимодействие между частицей и связанной парой задается потенциалом (5.68), усредненным по внутреннему состоянию пары а:
*>а (Уа) = 2 Н \ Лха | фА (ха) |21 Сраха + в^Уа р1.
(5.100)
При |г/а1-^°° этот потенциал равен сумме кулоновской и мультиполыюй частей:
^с)ы = ^ + и«|-12т^?. (5.Ю1)-
где
^ &) = 2 Г^ТШ С I ^ Ы I2 ^ (СОЗ 0а) ^ |* &ь, СО8 0а = (ха, уа).
Обозначим через Ъ*а оператор энергии, порожденный этим потенциалом:
ь^/(г/) = -А, + ^АЫ,
240
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
и через $а (У, р) — волновые функции этого оператора. Как ясно из сказанного, асимптотика ТА в направлении рассеяния вперед в действительности описывается с помощью функции tyjp. Таким образом, в представлении (5.93) функцию Vca) следует заменить функцией i|)a\ и тогда слагаемое ФАА будет асимптотически равно искапанным кластерным сферическим волнам с ограниченными во всех направлениях амплитудами. Но, как мы видели в § 1, мультипольные слагаемые (5.101) порождают особенности в амплитуде рассеяния, которые описываются представлением (5.32). Следовательно, и слагаемое /аа из (5.99) будет иметь такие же особенности в направлении рассеяния вперед.
Следует отметить, однако, чта-если связанное состояние i|uUa) является сферически симметричным, то мультипольные моменты pft равны нулю, так что сингулярная часть амплитуды РАА совпадает с чисто кулоновской /сА.
Рассмотрим далее функцию ТА(Х, рА) в областях Qp при (J Ф а, т. е. в областях, которые отвечают перестроенным парам. Падающая волна i|ui|)ca) в этих областях быстро убывает, так что старшие члены асимптотики исчерпываются искаженными кластерными сферическими волнами:
