Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 76

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 118 >> Следующая

Представим модельный оператор в виде суммы
(НЙЭДСЪ, Уа) - (- Д*а + ^Ч*», ^0)))/(^сс, Уа) +
+ (-^уа±^)(Уа))/(^ Уа),
и будем считать фиксированной переменную у«\ входящую в определение оператора Ь^. Мы будем полагать, что уа лежит в цилиндрическом слое ширины (\Уа0) \ + аУ, содержащем точку у а"':
\Уа-У^\<\а + \у^\\\
Производя сшивание решенинг в терминах этого оператора, следует учитывать, что асимптотики функций
фаЧ^а, Уа\ к) при различных Уа\ удовлетворяющих указанному неравенству, совпадают с точностью до искаженных сферических волн с бесконечно малой амплитудой порядка 1г/а1~у. Отметим, что резольвента операто-
256
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
pa Has\ Ra? = (Hi? ~ z) \ явно выражается через резольвенты двухчастичных гамильтонианов ha* и ha* с помощью соотношения (5.71').
Зная свойства функции Грина модельного гамильтониана На?* мы можем построить функцию Was в Qa, действуя по такой же схеме, как и в рассмотренном выше случае больших расстояний между частицами. Необходимые изменения сводятся к замене чисто кулонов-ских функций фа* (?(а), ко) функциями фа*(Х, ка) = — е~г(Ха,й°0фаа) (X, ка) и модельного оператора Hp — операторами Над\
Можно показать, что функция Ла8, определяемая равенством (5.107), при X^Qa подчиняется оценкам (5.108) или имеет порядок 0(|XJ~1_V) в зависимости от значений импульсных переменных. Необходимые для Доказательства этого утверждения вычисления аналогичны проведенным в § 1 при построении асимптотики слагаемых Ф(1)(Х). Отметим, что, в отличие от упомянутых слагаемых Ф(1), асимптотика функции Чга8(Х^ Р) не содержит членов, отвечающих эйкональным приближениям ?а и Wafi. Действительно, как мы видели в § 2, такие члены получались в результате перерассеяйия плоских или сферических волн в областях Qa и Qp, где парные потенциалы существенно отличны от нуля. В случае операторов взаимодействие Vas^ в этих областях исчезает. Поэтому не возникает й вторичных перерассеянных волн. Мы не будем проводить дальнейшую формализацию этих рассуждений. Необходимая для этого техника была описана выше. Отметим-также, что, поскольку при \уа\ 00 операторы ha не имеют ненулевых собственных чисел, координатная асимптотика функций Was не содержит также и кластерных волн (5.92), которые отвечают рассеянию частицы на связанной паре.
Итак, мы описали функцию Wa8(X, Р) во всей области определения Rem. Переход от одной аналитической формы к другой осуществляется с помощью характеристических функций введенных выше областей. Важно при этом, что, по построению, различные представления для 4fas(X, Р) совпадают в смежных областях в старших порядках.
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ ,257
§ 4. Асимптотика функций Ч^ в особых направлениях Я«0) и й(а°р
В этом параграфе мы изучим координатную асимптотику волновых функций ЧГ0(Х, Р) в окрестности особых направлений й») и йар.
Направление Й«0). Рассмотрим эйкональное приближение Ч^, которое задается формулами (5.58), (5.82) и (5.91). Будем предполагать временно, что векторы ка и ра не параллельны между собой, (ка, ра)Ф±\. В этом случае главное особое направление не пересекается с второстепенным.
Пусть да — трехмерное векторное поле, определяемое равенством
#а = соара + та.
Через ?2а0) обозначим окрестность направления Й«\ которая задается неравенством |Х| — Za< |Х|*, V < 1/2, и через 5?^0) — границу йа0).
Разложим функцию 4е <* на этой границе в ряд по сферическим функциям У7(#а):
(*, р) - 2 та (I & 1.2«) ут(&) ^ а).
(5.128)
Здесь через /са) обозначена амплитуда рассеяния для пары а, кулоновская часть которой умножена на срезающую функцию %а(?(ос)), равную нулю в окрестности направления рассеяния вперед:
%а) (Ха, *«) = № (*«, ка) %1 (|(а)) + № (х«, ка). (5.128')
Напомним, что функция %а(?(а)) использовалась ранее в представлении (5.72). Функции Ч^г даются интегралами
(I Я*\г га) = | сШ*УТ*Ы ?а(X, Р). (5.129)
Подставляя в (5.129) асимптотическое представление (5.58), придем к заключению, что старший член асимптотики Ч^ при Ъа оо имеет вид
^5 ~ Яаг ехр {1 УЖга + 1\У* + гаа 1п\да\)1 (5.130)
17 с. д. Меркурьев, Л. Д, Фаддеев
258
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
где В™і — постоянная, зависящая лишь от номеров I и т:
Определим продолжение функции 4*«, в особую область ?2^ с помощью разложения (5Л28), где вместо_функ-ции ^?аі подставим выражения = /а/ ехР I & Уе Zа +
+ їИ^а} с неизвестными пока функциями Чтобы
найти эти функции в области &а\ применим метод параболического уравнения.
Введем в окрестности ?2^ параболические координаты, отвечающие эйконалам 2а и |а=НХ|— ?а = =>|Х|+^а, так что ^ У?а?а. Эти координаты пра-вильно отражают масштаб изменения переменных в особой области. Подставим функцию л?а в виде (5.129) в уравнение Шредингера (5.45) и воспользуемся представлением оператора Лапласа в терминах параболических координат. Пренебрегая членами порядка ?а?а2, получим следующее параболическое уравнение для
+ ^±1'/-0. (5.131)
Решение этого уравнения можно найти методом разделения переменных:
С = С^^Ф (1- г i + 1 і УёЦ (5.132)
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed