Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Вдали от особых направлений асимптотика слагаемого Ьс имеет вид искаженной плоской волны:
Ьс~ехр{I(X, Р) + 1Щ, IV = 2|^-г 1п 1 к,\?4 (5.65)
Как уже отмечалось въгше, эта формула теряет смысл на направлениях рассеяния вперед пиры 1, где переменная ограничена. Легко видеть, однако, что при \ха\ °° (а = 1, 2, 3) перемепные делятся и уравнение .Шредин-гера имеет следующее решение Ч^1* (X, переходящее при ->о° в искаженную плоскую волну:
Здесь функция фс(&1, является решением задачи
рассеяния для двух частиц и выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию Ф(а, &, ?) равенствами (5.1), (5.2). Подчеркнем, что функция является точным решением трехчастичного уравнения Шре-дингера (5.45), в котором взаимодействие-задается единственным кулоновским потенциалом ^г± I!
Таким образом, старшие члены То в особом направ-. лении, где ограничена переменная описываются с
помощью функции Тс1*:
ной плоской волны Ьс и слагаемого щ , отвечающего однократному эйконалу:
ЧР(Х, Р) = ехр{*(Х, *)>Фо.(*1,
(5.66)
ф(Х, Р) =/с (^.Л)
(5.67)
224
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Здесь /с-—двухчастичная кулоновская амплитуда рассеяния, задаваемая равенствам (5.5).
Рассмотрим уравнение Шредингера в областях ?2а, где частицы попарно близки одна к другой.
Если точка X расположена в области ?2^ то асимптотически, при |Х|->°°, все потенциалы, кроме и^Ху), обращаются в нуль и уравнение Шредингера
которое может быть найдено методом разделения переменных. Через г|?1(л:1, к{) здесь обозначена волновая функция, отвечающая гамильтониану Ь^Ьо + у^ При |(П -*¦
00 эта функция имеет вид суммы искаженных трехмерных плоских и. сферических волн, а соответствующая амплитуда рассеяния f^(xi, й4) равна сумме короткодействующих и кулоновской частей (5.22).
Сравнивая равенства (5.58), (5.21) и (5.67), приходим к заключению, что вдали от направления, где переменная ограничена, слагаемое Ч'о, отвечающее эйконалу дается формулой (5.58), где С{(М{) = }^хи ку).
Определим далее амплитуды Са(Ма) при а?=1. Пусть точка X лежит в области ?2а, аФ1. Используя формулы (3.22), выразим вектор х{ через ха и уа и разложим ку-лоновский потенциал п^Ху]'1 в ряд по малому параметру \ха\ ^а!"1. ПОЛУЧИМ раВвНСТВО
где п1а = п^в^]'1 и через Рк(& обозначены ПОЛИНОМЫ Лежандра. При построении старшего члена асимптотики волновой функции будем учитывать лишь первое слагаемое в этд>м разложении. Тем самым построенное решение будет удовлетворять уравнению Шредингера в йа с точностью до членов порядка \ха\ \уа\~г.
Будем искать решение уравнения Шредингера в области Qa при а=^1, переходящее при \ха\<х> в искаженную плоскую волну Ьс. Подставляя сумму Ч^1* + Фа
- АУ1 + и[в)(хг) + п1\х1\-1-Е)Ч = 0
имеет решение
СОЭба = (ха, Уа),
(5.68)
§ 2. АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 225
(Ха) V!
<1)в
(5.69)
Чтобы описать решение этого уравнения, введем в рассмотрение ряд функций.
Пусть, как и выше, г|)а(д:а, ка) — волновые функции двухчастичного гамильтониана Ьа, Ьа = Ь0 + уа, и /а(#а, &а)амплитуда рассеяния для Ь«. Пусть, далее,_ 'Фа (*/а, Ра) — волновые функции модельного двухчастич-
пого гамильтониана Ьа, отвечающего эффективному ку-лоновскому взаимодействию этой пары с третьей частицей,
ЩУа) = (~ *Уа + »1« |У. И/(»«)• (5-70)
Эти функции выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию Ф(а, Ь, ?) формулами (5.1), (5.2), где вместо величин пи &1 и х{ следует подставить переменные Т^юи И Уа»
Обозначим через йа(Х? X', г) функцию Грина оператора энергии Щ, порожденного уравнением Шредингера (5.69):
Нса = Ьа + Ь^. (5.71)
Так как переменные в этом уравнении делятся, функцию Грина можно представить в виде контурного интеграла:
В? (*) = (2Я0-1 § та (?) Га {% - 0 (5.71')
где через га(?) и Га (С) обозначены двухчастичные функции Грина для операторов Ьа иЬа соответственно.
Пусть характеристическая функция особого
направления, где переменная ограничена:
*ЧЕ<т I1' ^(1)<(1 + к1|)Уг v>0, Ха ' К |(1)>(1 + К|)г\ v<v'<2/3.
Используя соотношение между функциями Ф(а, Ь, ?) 15 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
в уравнение Шредингера, получим в старшем порядке следующее уравнение для Ф«:
226 ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
и W(a, Ь, t):
Ф(«, Ъ, U) = -Ш-етЧ(а, Ъ, U) +
+ Ще»-е1п(а-Ь)Ч(Ъ-а,Ь,-и), t>0,
представим функцию в виде суммы
(X, р) = (Ф?> («!, + Ф^а) (*„ A,)) е№Р), (5.72)
где
ф?} *i) = xf (61) т (- itii, м I fci I -
ф<2> fo, ft,) = (1 - Xf &)) Y( - MI *i1
Нетрудно видеть, что функция фсХ) является старшей по отношению к Фс2) при \xi\ 00. При этом вдали от особого направления, когда -> °о, справедливы соотношения
В соответствии с этим представлением правая часть уравнения (5.69) может быть записана в виде суммы двух слагаемых. Мы рассмотрим сначала уравнение в старшем порядке:
(Щ - Е) Ф(1) (X) = - v* (ха) q?> (х,) ei(X'p\ (5.73)
а затем в младшем порядке:
(Н% - Е)Ф(» (X) = -va (ха) Ф<2) (xt) ei(X'P). (5.74)
Вследствие линейности решение (5.69) дается суммой Фа(Х, Р) = Ф(1)Ш + Ф(2>(Х).
