Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
а коэффициент С™/ и постоянную р, определить затем из условий сшивания /а/ с эйкональной асимптотикой (5.130). Вспоминая асимптотическую форму вырожденной гипергеометрической функции (5.3), получим
г(.+|) •
(5.133)
Заметим, далее, что асимптотика решения і™і содержит также слагаемое, отвечающее сферическому эйкона-
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 259
и через ()а обозначена приведенная разность между сферическим и однократным эйконалами, ()а=*{\—\Х\-*2,а)т.
Итак, мы показали, что асимптотика слагаемого ^?а в особых направлениях описывается с помощью
функции 4*'«, которая определяется формулами (5.128) — (5.133). Изучим свойства этой функции подробнее.
При сделанных выше предположениях о направлении векторов ка и ра функция 4*0, гладко зависит от углов
так что коэффициенты В™1 убывают, как произвольная степень Л^>1. Поэтому ряды (5.129) и (5.135) быстро сходятся и также представляют собой гладкие ограниченные функции Если (гса, /?а) = ±1, то при ^ейа0) малы параболические координаты ?ра), Р=^=а, описывающие состояния частиц пары [} в момент соударения пары а. Асимптотика функции ^0 является при этом быстро меняющейся функцией углов да, ее производные по qa растут, как |дак Формулы (5.128) —(5.135) можно получить и в данном случае, однако при этом трудно исследовать сходимость ряда, так как производные функции 4я а относительно да неограничены при 1<7а1-^°°. В описанной ситуации следует использовать 17*
лу. На основании (5.3) находим, что функции /аь с помощью которых описывается асимптотика функции Ч?а вйа\ порождают искаженную сферическую волну (5.53) с сингулярной при Za=\X\ амплитудой Ра\ которая определяется соотношением
& (X, Р) = С*а. *а) Л")(^^'!аХГ1)- (5-134)
Здесь множитель А?\ не зависящий от дается равенством
200
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
интегральные представления типа (5.116). Мы приведем их в следующем параграфе.
Введем на единичной сфере 5(5) координаты, ассоциированные с переменными ка и ра. При этом для элемента площади ?(5) справедливо представление
ах = | х Г4 [/х2 - У1 ?а А лУа. (5.136)
Мояшо убедиться далее, что разность между эйконалами |Х| к определяющая особенности амплитуд искаженной и сферической волны пропорциональна разности между начальным и конечным импульсами: (?а =
= I Ра - Ра | (& + О (| ра - ра \)\ где р'а = Е~1/2 \ X ^ Уа
и <)а = ^1 + ^(#а, ра)^ Из (5.134) следует тогда, что особенность РаЭ) имеет вид полярной сингулярности
В силу (5.136) такая особенность является неинтегрируе-мой на единичной сфере 5(5). Таким образом, при интегрировании по ?(5) мы не можем понимать амплитуду Ра} как обычную функцию и будем сопоставлять ей обобщенную функцию. Определение этой функции будет дано в следующей главе.
Направление йа°0- Перейдем к изучению асимптотики слагаемых Ч^р в особых направлениях Обозначим через (^ар*) часть конфигурационного пространства, Где ВеЛИЧИНа (йа&=Е~и2(\ха\ \ра&\ ~ \къ$\(ра$, У а))
положительна, соар >0 (отрицательна, о>аР<0). Нетрудно видеть, что в особом направлении Иа°1 эта величина равна нулю. Можно показать, что введенные области совпадают с разбиением конфигурационного пространства, которое мы произвели в главе IV с учетом знака функции
С помощью модифицированных компактных интегральных уравнений, которые мы опишем в § 5, можно показать, что, как и в случае нейтральных частиц, слагаемое 4я аР при переходе точки X из в Оар* меняет форму волны, отвечающей двукратному эйконалу Яар, на искаженную сферическую волну. Это обстоятельство мы будем учитывать'далее при построении асимптотики Ч^р.
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 201
Обозначим через Qa°p окрестность направления Qa°p, в которой выполняется неравенство |Л/"ар|<?ар, 0< < v< 1/2. Чтобы описать переходное поведение 4яаР в QaP, введем параболические координаты |аР и ?ар по формулам lap = 1X1 — ZaP, ?ap = IXI + Z«p и рассмотрим функцию xFaP, задаваемую соотношением
Чар А (Р) = /ар(?ар, Sap) -1 *а | | |-
хЛар(Х, Р)ехр [iYEZ^ + ^ар}, (5,137)
где функция /аР будет определена из условий сшивания Ч'ар с эйкональпым приближением ^Fap, которое было построено выше.
Подставим выражение (5.137) в уравнение Шрединге-ра (5.45). Используя для оператора Лапласа представление (5.59) в терминах параболических координат и пренебрегая членами порядка ?ap?ap2, придем к следующему уравнению с разделяющимися переменными, которому подчиняется функция /ар:
*и*1и*/+'/*(«*-«4)/-о. (ММ)
После разделения переменных уравнение относительно \ сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению. Его решение, описывающее изменение асимптотической формы слагаемого "Ч^р, можно получить, если выбрать в качестве решения вырожденного гипергеометрического уравнения функцию Ч?Ча, b, t). При этом в области «тени» Qap* функцию /ар следует определить соотношением
/ар (?ар> ?ар) =
= Сар eirs*"W (4 + *ц, ± - * VE Бар), (5.139)
где постоянная деления р,и амплитуда СаР находится пу-Фем сшивания с эйкональпым приближением при
?ар 00 в области которое будет проведено ниже.
