Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
266
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
рядом по гиперсферическим функциям
(№т 5 i \
T + T + ^*o<p>L
x(i/S)"'-'*"™Pr'-1
ГДм), (5.147')
cos9 = (P, X).
Это выражение представляет собой разложение в ряд по функциям Yj(M) сингулярной амплитуды (5.121), полученной выше в результате решения неоднородного уравнения (5.115) в терминах функции Грина оператора НР.
При выводе формул (5.147) и (5.1470 мы считали, что собственные числа Lj подчиняются неравенствам (5.146'). Это означает, что в разложениях (5.145) и (5.147) должны эффективно учитываться лишь те члены, которые подчиняются указанным условиям. Однако, как можно показать, ряды (5.145) и (5.147) сходятся медленно, . так что возникает необходимость рассматривать и члены, которые не удовлетворяют данным условиям. Поэтому разложения (5.145), (5.147) трудно использовать для изучения локальных свойств функций Фаз и /с. Для этого больше подходят интегральные представления (5.116) и (5.119). Разложения (5.145) и (5.147) полезны прежде всего для работы с интегралами вида
где / — гладкие функции. В этом случае получающиеся после усреднения ряды сходятся быстро, так что условия (5.146') мояшо считать выполненными. Мы рассмотрим такие интегралы в следующей главе при вычислении матричных элементов кулоновской матрицы рассеяния.
Собственные функции. В заключение этого параграфа опишем асимптотику собственных функций дискретного спектра. Для ее построения мы применим метод эйко-нальных разложений.
В случае дискретного спектра асимптотические решения уравнения Шредингера, отвечающие эйконалу %,
JY0(Z, P)j(P)dP,
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 267
?0 (X, Е) = и (X) (2 VE | X |)ро exp^fj4
(5.148)
где показатель степени р0 равен сумме двухчастичных показателей:
Кластерным эйконалам отвечают следующие приближения:
(X, Е) = 1^ уа, соа) Й««>ехр.{7^^(а)}.
I а I I I
(5.149)
Функция Я?(а) в данном случае дается формулой
P^a
где
Ара = CfiaVEaXa — SfaTtE — /?a0a, ?ра = + (ftpa, Zp).
При этом функции W0 и W(a) определяют растущие или
удобно представить в виде
4rz(X)=Azfz(M)Wz ехр{-У?2};
здесь использованы обозначения Az, fz, которые мы ввели в § 1, а функция Wz задается формулой
Wz = ехр ((2 VEY1 \ Vc {tVZ+ М) dt\
I «(О J
По аналогии с системой нейтральных частиц мы рассмотрим два типа эйконалов: сферический эйконал |Х| и кластерные эйконалы
Еа = max кА, А = {а, у}, i
Эйкональное приближение, отвечающее сферическому эйконалу, имеет вид
268 гл- V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
убывающие множители, в зависимости от соотношения меяеду зарядами.
Отметим, что, в согласии с общими формулами (5.50),
уГЛОВЫе КООрДИНатЫ ?«, У а И Переменная (Da =
= Е-1/2{УЕ — Еа\ха\ — УЕа\уа\) задают ортогональную систему координат на трансверсальной поверхности Z{a) = = const.
Пусть Q(a±) — область, где sign coa = ±1, и Q(0) — переходная область, где выполняется неравенство |соа1 < <(1 + |X|)V, 0<v<l/2. Мы уже встречались с таким разбиением конфигурационного пространства в случае нейтральных частиц. Напомним, что область Qa, где частицы пары а разделены слабо, лежит в области
Собственную функцию 4я (X), отвечающую энергии связи —2?, можно представить в виде суммы
Т(Х)=2)Фв(Х), (5.150)
a
гдр слагаемые Фа имеют вид эйкопальных приближений. Опишем эти слагаемые.
В области Qa функция Ф«(Х) равна произведению собственной функции основного состояния оператора ha и кластерной сферической волны (5.97), где переменная Е равна собственному зачению, т. е.
Фа (X) ~ga(h)*a Ы \ У а Г» ^<-Т^Ч'«П.
(5.151)
Здесь ga(ya) — гладкая функция угловых переменных уа
и через г|а обозначен кулоновский параметр r]a = -у X
X (Е — Еау1/2. Если \ха\ °°, то двухчастичная собственная функция принимает асимптотическую форму:
ы«о~/.&)|2 /в,кП"5^вхр{-,^',а|1.
Гсь|
Соответственно функция Фа переходит в эйкопальное приближение (5.149), где амплитуда F{a) задается
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
269
формулой
/"-(-^)*-(]/1)*/.<У,.(ь>х
"Р
X П (|sp«*pe|(l — (*Ра, J/a)signspa))2|ftpa|. Р^а
Здесь мы ввели обозначение
Эта амплитуда, как и в случае волновых функций 4VX, Р), определяется из условий сшивания эйкональ-ного приближения с функцией (5.151).
Аналогично системе нейтральных частиц, в области функция Ф« имеет вид эйконального приближения (5.148), отвечающего сферическому эйконалу. Таким образом, следующая задача состоит в том, чтобы сшить указанные асимптотические режимы и описать асимптотику Фа в переходной области Qa\ Это можно сделать в рамках метода эталонного уравнения.
Введем отвечающие области 0$ параболические координаты |=|Xl-Z(a), ?=|X|+Z(a). На границе между областями и * ? = 0, а в переходной области |<|X|V. Будем искать функцию Фа в переходной области ?2а0) в виде произведения
0,-^a)(itfa)WKa)"pbyffa)}H»(6,0, (5.152)
\ха\\Уа\
где функция иа(6, V зависит только от переменных g HL ?. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера (5.45) и пренебрегая малыми поправками порядка |?~2, получим следующее уравнение для функции &а(|, ?):
