Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
При описании перехода через особое направление ^а°р будем считать, что переменная §ар изменяется на
262
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
комплексной плоскости с разрезом по положительной полуоси П0. Будем полагать, что верхний берег разреза отвечает области Qa?\ так что в формуле (5.139) аргумент |a? фиКСИруеТСЯ уСЛОВИвМ arg |a? ™ 0 При |a? > 0.
Движению точки X в область отвечает переход
переменной |a? на нижний берег разреза, где arg ga? = 2я при |a? > 0. При этом функция /a? становится равной
/a? (?a?, fea?) ,= a? &x? * P 1^(1 + в X
(5.140)
Учитывая асимптотику функций Ф(а, Ь, ?) и ТЧа, Ь, f) при ? ->- оо, находим из условий сшивания, что
и = ^5 г — 2 '
^=24-^(1 + ^)г(т+^?)х
Хехр{шГар-я^}. (5.141)
Приведем ряд следствий из^формул (5.139) —(5.141). В области асимптотика Ч'ар может быть представ-
лена в виде суммы
(X, Р) ~ ?ар (X, Р) + Ф<5> (X, Р),
где эйкональное приближение Тар описано в § 1, а Фар* — искаженная сферическая волна (5.53) с сингулярной амплитудой
_ г к*(р*> рр))7(сР)(^(^ рр)» *э)
" 0 * і^і3«(^^)-^-^)1+іаар ар'
(5.142)
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
263
Здесь мы использовали следующее обозначение:
Кроме того, как и выше, мы обозначили ра = VЕ>\ XI""1 уа и учли равенство
1 - m - (*? u>«. л») - **) 2у2|.;цР;|'
В области ?«V слагаемое ^Fa?, отвечающее двукратному эйконалу Za?, равно нулю и асимптотика 4fa? имеет вид искаженной сферической волны:
Xexp{j|Z||P|-W0(X, Р)}.
При этом амплитуда F^ не равна по величине амплитуде Fa~$\ как это было в случае нейтральных частиц. Эти амплитуды, вычисленные в симметричных по отношению к границе Qa°? точках, связаны равенством
FiV = exp {in (1 + ia^)) Ftf. (5.143)
Отметим, что сингулярный знаменатель в (5.142) можно понимать как обобщенную функцию (t — Ю)~1_га. Тогда появление добавочного множителя ехр {ш(1 + ia^)) можно объяснить результатом аналитического продолжения этой функции из правой полуплоскости, где arg t = О при t > 0, в область .отрицательных t, arg t = я. При этом то^ка ? = 0 обходится в положительном направлении. Напомним, что в системе нейтральных частиц сингулярность амплитуды сферической волны, отвечающая двукратным столкновениям, имеет вид полюса (?—Ю)"1, так что переход у переменной t в левую полуплоскость отвечает изменению знака этой амплитуды.
Параболическое уравнение в области рассеяния вперед. Итак, мы построили асимптотику функций У?0(Х, Р) в окрестности особых направлений Q«' п ^a?, решая
264
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
эталонные уравнения с разделяющимися переменными. При этом, в отличие от области рассеяния вперед, рассмотренной в предыдущем параграфе, мы получили ответ для Wa не в -виде интегрального представления, а в виде ряда по сферическим функциям. Получим аналогичные представления и в окрестности направления рассеяния вперед.
Подставим функцию WdS в виде произведения Yas(Z, P) = ^p)OdS(Z, Р)
в уравнение Шредингера, записанное в параболических координатах \ и ?. Получим для функции Фа8 уравнение
1+^ E + CUC dir
которое выполняется с точностью до членов порядка ??~Л Здесь через А~ обозначен оператор Бельтрами — Лапласа на единичной сфере ?(4) в пространстве R5. Пусть Yj(M) — сферические функции на ?(4), которые определяются как нормированные собственные функции оператора Ай:
-^Yj(M) = LjYj(M).
Здесь, / — мультииндекс, / = {/, ти т2, mj, нумерующий эти функции, и ij — собственные значения, равные
?,=У(/+ 2), / = 1,2,...
Функции Фа8, как и выше, будем искать в виде ряда по сферическим функциям:
Фа5 (X, P) = 2fj (g, ?) Yj (М), (5.145')
J
где функции fj удовлетворяют уравнению (5.144), в котором оператор — следует заменить множителем Lj = = /(/ + 2). Ччюбы найти нужное нам решение этого уравнения, зададим его асимптотику при Б <*>, которая определяется условием сшивания с эйкональным приближением Lc.
С этой целью разложим функцию ФЯ5{Х, Р) на координатной поверхности |=|J|V в ряд (5.145х), так что
§ 4. АСИМПТОТИКА В ОСОБЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 26Й
коэффициенты fj даются интегралами
U (I, I) = J <Ш г; (М) Д Аа), (5.145)
и исследуем асимптотику // при | °°. В старшем порядке получим выражения
/j (g, ?)~ exp {* f^j In |} Дь (5.146)
не зависящие от ?. При этом, если собственные числа не очень велики,
Lj = 0(\X>\), v<l/2, (5.146')
коэффициенты можно вычислять по формуле (5.145), где функция II фса) заменена ее асимптотикой
а
exp |i ^ln Jx~|cos2 0aJ, cos 9а = I ua 11M I"1.
Поскольку асимптотические граничные условия (5.146) инвариантны относительно сдвигов по ?, мы должны взять решения уравнений (5.144), которые не зависят от ? в старшем порядке. С точностью до членов порядка ??~2 такими решениями являются функции
//(6)-^/яф(?+'1Й. M/ + -f.'V4&g),
(5.147)
где постоянные \ij даются равенствами Т + Lj ~~ т-
Учитывая далее асмиптотический вид функции Ф(а, Ь, ?) при ? -»- °°, найдем из условий сшивания, что
Заметим, наконец, что функция Чхар асимптотически содержит также искаженную сферическую волну с сингулярной при (X, Р) = 1 амплитудой, которая задается
