Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 80

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 118 >> Следующая

(5.153)
Условие сшивания дает следующие граничные условия для этого уравнения: функция (5.152) должна иметь асимптотику (5.148), если | °° и X лежит в ?2а+\ и становится кластерной сферической волной (5.149), если g -*- оо по другую сторону границы.
270
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Заметим, далее, что уравнение (5.153) имеет решение вида
Ва(Е, ?)=С№(-У?|),
где функция Ра подчиняется вырожденному гипергеометрическому уравнению
Указанные выше граничные условия дают следующие значения постоянных:
! „ Г(1 + |1)г(4- + 1*)
и определяют решение
Если ?°°, мы можем заменить функцию 4я (а, &, ?) ее асимптотикой (а, Ь, ?) — ?~а. Решение (5.152) перейдет тогда в приближение сферического эйконала (5.148).
Чтобы получить функцию (5.152) в области Я<Г\ рассмотрим, как и выше, координату Б в качестве переменной на комплексной плоскости с разрезом П0. Будем считать, что для X из переменная Б принадлежит
верхнему берегу разреза, | = А, + Ю, а области со-
ответствует нижний берег разреза. Выполняя аналитическое продолжение вдоль контура, обходящего точку Б = 0 в положительном направлении, и учитывая формулу (5.140), получим приближение кластерного эйконала (5.149).
Итак, мы описали асимптотическую форму функций Фа. Асимптотика собственной функции ЧГ(Х), как и в случае нейтральных частиц, задается старшими по порядку членами в сумме (5.150).
§ 5. Компактные уравнения в конфигурационном пространстве
В этом параграфе мы опишем интегральные уравнения для резольвенты и волновых функций в конфигурационном пространстве. Как мы отмечали в главе III, ос-
§ 5. КОМПАКТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
271
новная трудность, которую нужно преодолеть, чтобы получить уравнения типа Фредгольма в системе заряженных частиц, обусловлена нетривиальным действием кулоновского потенциала на больших расстояниях. В частности, это обстоятельство приводит к тому, что методы, основанные на теории возмущений, в данном случае неприменимы.
Заметим, однако, что адекватный математический аппарат, который выходит за рамки теории возмущений и позволяет описать дальнодействующие поправки, был развит нами при построении координатной асимптотики волновой функции. Фактически мы нашли в первых двух параграфах сингулярную часть оператора (Н — z)"1, отвечающую дальнодействующим частям потенциалов, т. е. решили задачу, которая упоминалась в § 5 главы IV в связи с исследованием особенностей ядер уравнений (3.29) при положительных энергиях. Поэтому нам остается исследовать гладкую часть этого оператора с помощью интегральных уравнений типа уравнений теории возмущений. Ниже мы уточним это замечание и формализуем соответствующий подход.
Интегральные уравнения для компонент резольвенты. Рассмотрим оператор На, определенный на стр. 243 как «невозмущенный» оператор энергии. Определим модифи-цированные компоненты Г-матрицы Ma?, отвечающие возмущениям V«, соотношениями
Ma?(z)=Va6a?-VaR(z)V?.
Аналогично (3.57), введем в рассмотрение следующие компоненты резольвенты:
Ra?W = -Ra(2)Ma?(z)Ra(z);
здесь через Ra(z) обозначена резольвента оператора На, Ra(z) = (На — z)~\ Очевидно, резольвента оператора Н равна сумме
R(s) = Ra(z) + 2R«?(*)-
a,?
Интегральные уравнения для ядер операторов МаР и R«? можно получить совершенно так же, как это было сделано в случае нейтральных частиц. Мы не будем повторять здесь уже знакомые рассуждения. Приведем окоичатель-
272
ГЛ. V. СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕПНЫХ ЧАСТИЦ
ный результат. Обозначим через Н« оператор
На = Ha + Va = Н0 + Va + S V(?u)
?^a
и через Ra(z)— резольвенту этого оператора, RaU) == = (Ha — z)~\ Справедливы следующие модифицированные уравнения Для компонент Ka?:
Ra? (z) = Sa? (Ra (*) - Ra (*)) - Ra (z) Va 2 R?? (z).
(5.154)
Эти уравнения наилучшим образом подходят для исследования кулоновской функции Грина.
Чтобы исследовать модифицированные интегральные уравнения, необходимо знать свойства ядер операторов Ra и R«. Однако, в отличие от аналогичных операторов для системы трех нейтральных частиц, явный вид этих ядер неизвестен и они должны быть изучены независимо. Данную задачу мы решим путем построения асимптотических решений неоднородных уравнений Шредингера для функций Грина и последующим переходом к интегральным уравнениям теории возмущений по отношению к этим решениям. Другими словами, мы правильно опишем сингулярную кулоновскую часть функций Грина уже в нулевом приближении, так что оставшееся возмущение будет иметь короткодействующий характер.
Оператор Ка(з). Начнем с построения приближенной функции Грина. Будем называть функцию Gas(X, X', z) асимптотической функцией Грина для оператора Н8, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) Функция Gas(X, X', z) является гладкой и ограниченной при ХФХ' m всех z из комплексной плоскости с разрезом П0. Справедлива оценка lGa8(X, X', z) \ ^ < С(1 + IX — Х'1)~5/2. При совпадающих значениях переменных X и X' Gas имеет полярную особенность
Gas(X, X', z)^(4n3)-1|X-X,h4.
2) Ядро Gas(X, X', z) является симметричной функцией GaS(X, X', Z) = Ga8(X', X, i) И ПОДЧИНЯвТСЯ НеОДПО-
родному уравнению Шредингера с o-образной особенностью с точностью до быстро убывающих при |Х| оо
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed