Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
1/Ы1 <С(1+ |*|)-% 0<^<1.
Везде далее мы будем рассматривать потенциалы у(х), которые убывают как \х\~3~% е >0, при \х\ -> оо. В этом случае асимптотика интеграла в правой части (4.12) определяется значениями г/, лежащими в некоторой окрестности начала координат. (Конечно, радиус этой окрестности зависит от й.) В силу (4.11) этот интеграл имеет вид сферической волны, т. е. убывает как (1+Ы)"1. Заметим далее, что гладкость интеграла как функции х определяется лишь свойствами ядра а(я, у, г)
134
ГЛ. ТУ. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
и не зависит от свойств функции /(#). Более точно, мы можем утверждать, что рассматриваемый интегральный оператор переводит множество непрерывных ограниченных функций в множество равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Если v < 1, то он делает эти функции более быстро убывающими. Отсюда следует, что этот интегральный оператор является вполне непрерывным.
Таким образом, к уравнению (4.12) применима альтернатива Фредгольма. Как и в случае аналогичного уравнения (3.4), можно убедиться, что особые точки этого уравнения совпадают с дискретными собственными значениями оператора Ъ. Но на положительной вещественной полуоси этих точек нет. Следовательно, уравнение (4.12) имеет единственное решение. То же относится и к сформулированным граничным задачам. На этом мы закончим описание дифференциальной формулировки задачи рассеяния.
Функция Грина. Посмотрим теперь, какими свойствами обладает ядро резольвенты в координатном представлении. Это ядро, называемое функцией Грина, подчиняется уравнению Шредингера с б-образной особенностью:
(-Ax + v(x)-z)r(x, х\ z) = Ь(х-х'). (4.13)
В силу симметрии
г(я, х\ г)^Т{хгГх^ (4.130
такое же уравнение справедливо по переменной х'. Согласно уравнению теории возмущений (3.2), эта функция удовлетворяет также интегральному уравнению второго рода:
1С (х, х , 5») ¦ (х, X , &) т
Таким образом, исследование функции Грина сводится к изучению интегрального уравнения, аналогичного (4.12). Единственное отличие состоит в том, что параметр 7г из (4.12) может принимать в данном случае комплексные значения. Все, что мы сказали об этом уравнении выше, можно отнести и к уравнению (4.14). В частности, к этому уравнению также применима альтернатива Фредгольма. Отсюда следует, что если х?=х',
'§ і. СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ
135
то при ъ из П0 ияф — х2 функция Грина является гладкой ограниченной функцией. При х = х' она имеет особенность (4я)_1и — х'\~\ которая заключена в свободном члене (4.14).
Выше мы видели, что волновые операторы можно определить как вычеты ядра резольвенты г(/?, р'', z) в импульсном представлении в полюсах (р'2—я)"1. Посмотрим, как это соотношение можно трактовать в терминах функции Грина.
Рассмотрим уравнение (4.14) при вещественных положительных % = Е ± Ю, Е > 0. Перейдем здесь к пределу \х\ °°, учитывая при этом соотношение (4.11). Получим асимптотическое представление
г 1х,х',Е±ю) ~ ±у»(*\юехр{±;Х1|ж|}.
(4.15)
где к' = 2р~УЕх, а функция г|)(±) задается равенством ф(±)(*\ к') =
= ехр{*(;г', /с')} — 5^ехр{^(г/, к')}и(у)г(у, х\ г). (4.16)
С другой стороны, в (4.14) можно перейти к пределу \х'\ 00 с учетом найденного равенства (4.15). Получим аналогичное асимптотическое представление
г(х,х',Е±гО) ~ ^^>(х,&)ехр{±'^5|хЧ},
(4.17)
где А = ^Ех\ а амплитуда сферической волны подчиняется интегральному уравнению (4.12) и, следовательно, совпадает с волновой функцией (4.2).
Таким образом, мы можем найти волновые функции следующим образом: вычислить • асимптотику функции Грина при х' -> °° и сократить на множитель, зависящий от х', который представляет собой сферическую волну. Ясно при этом, что указанная сферическая волна обязана своим происхождением полюсу (р'2 ~ z)-i ядра резольвенты в импульсном представлении.
Из условия «самосопряженности» резольвенты (4.13) вытекает следующее соотношение между амплитудами
136 ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
(4.15) и (4.17):
$(±)(*, к) = - /с).
Заметим также, что в силу (4.13) ядро 'Г-матрицы подчиняется условию
1(к, к', z) = t(k\ к, z).
Сравнивая амплитуды рассеянных волн (4.4), получаем отсюда, что асимптотика (х, к) выражается через асимптотику г()(+)(;г, к) при помощи соотношения
(х, к) ~ Ц>(+/ (х, - А). (4.16')
При этом в случае сферически симметричных потенциалов это соотношение переходит в равенство.
Из (4.11) и (4.12) вытекает также интегральное представление для амплитуды рассеяния
к) = — Jexp{— i\k\(x, y)}v{y)^{y, к) dyy
(4.18)
которое совпадает с (2.37) при N = 2.
Заметим, что полученные выше асимптотические формулы позволяют дать простой рецепт вычисления ядра оператора рассеяния. Именно, рассмотрим интеграл по единичной сфере.
1{х) = ldk^{x, k)f(k); (4.19)
где функции /Ш обращаются в нуль в некоторой окрестности направления к = —«г,
/Ш=0, G + ftKe. (4.20)
Из формул (4.4) и (4.6) вытекает тогда следующее асимптотическое представление:
Цх)^А(Я,\к^^{\[к^\ (4.21)
где амплитуда сферической волны явно выражается через оператор рассеяния:
