Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Получив далее дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют компоненты волновых функций. Запишем систему (3.59) в координатном представлении. Применим к. обеим частям оператор На — z: Придем к следующей системе дифференциальных уравнений для компонент функции Грина:
(- + Va (ха) - *) i?a? Х\ z) ^ = -V* (Ха) R0 (X, X', Z) Sa? - Va (xa) 2 #v?
(4.44)
Используя определение компонент волновых функций (3.60), (3.61), получаем отсюда искомые уравнения:
(— А + P? (*р) - ЕА) ФРА (X) =
= - (Ч) Ua (X) + 2 Фуа (Х)\ (4.45)
V v^? /
Компоненты 0с{/^ задаются равенством %(?) = ei(x,P)6?v
при любом у, а компоненты Ха при А Ф 0 — равенством
Х(Г(Х, Рл)=««РХа(Х, РА). При этом волновые функции равны сумме
Чл(Х, РА) = %а(Х, Ра) + 2Фрл(Х, РА).
?
Они подчиняются уравнению Шредингера
(- Л + | Va (Ха) - ЕА УА (X, рА) = 0, (4.43')
а функции S^?A—неоднородным уравнениям (4.43). ?
Перейдем к постановке граничных задач на основе уравнений для компонент (4.45).
Рассмотрим сначала процессы с двумя кластерами в начальном состоянии. Как мы показали выше, компоненты ФРА(АГ, рА) асимптотически равны сумме (4.35) кла-10*
148
гл. iv. конфигурационное пространство
стерных сферических волн, отвечающих оператору па, и шестимерных сферических волн. Следовательно, соответствующее решение системы уравнений (4.45) нужно искать в классе вектор-функций #яА(рА). Напомним, что элемент ФА этого класса представляет совокупность трех компонент, Ф^= {Ф1А, Ф2а, Фза), с фиксированной асимптотикой (4:28) на бесконечности.
Асимптотические граничные условия для компонент волновых функций ^(Х, Р) отличаются от аналогичных условий для двухкластерных столкновений лишь тем, что в этом случае необходимо выделять медленно убывающие слагаемые, описывающие перерассеяние. Оставшуюся часть компонент Т^ао, определяемых, представлением (4.39), следует искать в классе ВЕ>г(Р), 0<е<2.
Наметим схему оправдания граничных задач. Рассмотрим, например, граничную задачу для компонент волновых функций Та при А Ф 0. Пусть /?а(Х, X', г) — функция Грина для оператора На (4.23). Применим формулу Грина (4.8) с Й = У*, щ = Ф,А(Х',рА) и 1г2 = Др(Х,Х', ЕА + Ю). Напомним, что компоненты ФРА(Х', рА) имеют асимптотику вида (4.35). Такую же асимптотику, согласно (4.24) $ (4.24'), имеют и функции Грина В (X, X', ЕА+Ю) при \Х'\-*°°л Опираясь на эти результаты, мы можем вычислить асимптотику интегралов в правой части (4,8) аналогично тому, как это было сделано в задаче двух тел. Получим в пределе В -> оо нуль. Интеграл в левой части можно вычислить с помощью соотношений (4.45). В результате получи'м следующую систему интегральных уравнений для волновых функций:
Фра Ра) = - | йХ'В$ (X, X', ЕА + Ю) ) X
х(ДФуа(Х',яа)+ №(х;рА)).
Эта система отвечает формальному обращению оператора Нр — Е в (4.45). Мы увидим в § 4, что к этой системе, рассматриваемой в классе функций с асимптотикой (4.28), применима альтернатива Фредгольма. Отсюда, как и в задаче двух тел, можно получить, что сформулированная выше граничная задача для компонент корректна и однозначно разрешима.
Итак, мы сформулировали граничные задачи для волновых функций и их компонент, которые можно поло-
§ 3. ВКЛАД ДВУХЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
149
жить в основу альтернативного определения волновых операторов. С другой стороны, как мы отмечали выше, дифференциальная формулировка предпочтительна с точки зрения вычислительных возможностей.
Посмотрим теперь на граничные задачи с этой стороны.
Уравнение Шредингера является наиболее простым дифференциальным соотношением, которому удовлетворяют волновые функции. Однако асимптотические условия в этом случае выглядят довольно сложно. Во всех областях Йа (а = 1,2,3) имеются как отличные от нуля парные потенциалы, так и медленно убывающие кластерные сферические волны. Для их описания приходится использовать все три пары якобиевых координат. Данное обстоятельство существенно затрудняет численные расчеты.
Эти трудности исчезают после разделения волновых функций на компоненты. В каждом из уравнений (4.45) имеется только один потенциал, отвечающий данной паре р. При этом асимптотика компонент ФРА содержим только один член, порожденный собственной функцией оператора энергии подсистемы из двух частиц (а не сумму по всем парам, как в случае уравнения Шредингера). В то же время уравнения для этих компонент обладают всеми преимуществами- дифференциальных уравнений. В частности, в качестве входных данных используются парные потенциалы и собственные функции, а* не Г-матрицы, как в интегральных уравнениях. Таким образом, дифференциальные уравнения для компонент сочетают сильные стороны компактных .интегральных уравцений, обусловг ленные корректным учетом структуры волновых функций, с простой формой, свойственной уравнению Шредингера. В главе VII мы покажем, как эти преимущества дифференциальных уравнений для компонент можно использовать . для разработки эффективных численных методов задачи рассеяния.
§ 3. Вклад элементарных двухчастичных столкновений
