Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
А (к'9 | к ')) = J * {к', к) / (к) dk. (4.22)
§ і. СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ
13?
В конце отого параграфа мы коротко опишем асимптотику функции Грина для оператора энергии системы трех тел, где взаимодействуют только две частицы пары а, На = Н0 + Уа. Эти результаты понадобятся нам в следующем параграфе. Функция Грина Яа(Х, Х\ г) явно выражается через двухчастичные функции Грина:
2лі
Используя представление
(4.23)
запишем эту функцию в виде суммы да (X, X', 2)=2^а (*«) *а Ы--;
А \Уа — Уа\
+ Ёа(Х,Х',2), (4.24)
где первая группа слагаемых отвечает оператора^ РаИ», а ядро Яа задает инвариантную часть оператора В.а(г)
в подпространстве ^1— 2Ра^$. Асимптотика функции
Иа может быть найдена методом перевала. Пусть, например, X фиксировано и \х'\Рассмотрим вещественные % = Е + 10. Тогда в критической точке ?0, определяемой из уравнения
^(/Г=Ч|г,в| + УТЫ) = 0, С-(^1/Ж,
показатель экспоненты равен ІЕІХ\. В результате получим формулу:
Ва(Х,Х', Е + Ю)~Сдф.(ха, ка)е*<?**«)*|},.
(4.24')
Р = іка, ра), Р = —ЦЕХ',
СЕ = -(2я)-!/* • 2"'?3/4 ехр {ш/4>. Итак, при |Х'| -> 00 функция На имеет вид шестимерпой сферической волны. Отметим, что использованпос здесь
138
т. iv. конфигурационное пространство
обозначение СЕ для нормировочного множителя в асимптотике резольвенты будет встречаться и далее в этой и следующей главах.
На этом мы закончим исследование задачи рассеяния для двух частиц в конфигурационном пространстве.
§ 2. Координатная асимптотика волновых функций для системы трех тел
В этом параграфе мы приступаем к изучению задачи трех тел в ^конфигурационном пространстве. Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать граничные задачи для волновых функций на основе уравнения Шредин-гера и дифференциальных уравнений для компонент. Мы будем действовать по такому же плану, как и в задаче двух тел. Сначала. мы изучим асимптотику преобразований Фурье, которые задают волновые функции. Затем, зная асимптотику, мы поставим граничные задачи, однозначно определяющие эти функции. Эти вопросы мы рассмотрим в §§ 2—3. В § 4 мы опишем свойства трехчастичной функции Грина. Этот параграф важен с точки зрения обоснования дифференциальной формулировки задачи рассеяния.
Мы .рассмотрим только функции со значком (+), причем, чтобы не перегружать формулы, последний будем опускать. Совершенно аналогично можно изучить асимптотику функций со значком ( —) — все измецения, как и в системе двух тел, сводятся к замене знака импульсной переменной и переходу к комплексно сопряженным функциям. Асимптотически имеет место равенство, аналогич-
Падающие и рассеянные волны. Введем прежде всего ряд обозначений, которые удобно использовать для описания асимптотики волновых функций. Пусть ра(Х,Е) (а-1, 2, 3) и оА(уа, Е), Л = {а, Й, а = 1, 2, 3;" ? = 1, 2, ..., Л^«,— гладкие функции, асимптотически равные шестимерньш и трехмерным сферическим волнам:
Ра (К Е) ~ ехр{'^ & Е) + О (| х р))в
ное (4.16'):
(*,Ра)~^+)(*.-*а)'
(4.16*)
v>01 (4.25)
§ 2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ 139
I ^06 |
+ 0(\уаГ)), v>0. (4.26)
Напомним, что через —1 к\ мы обозначаем собственные значения двухчастичных операторов энергии па (а = = 4, 2, 3).
Через Фя мы будем обозначать класс вектор-функций Ф(Х, Е) с компонентами р« и оА:
Ф(Х, Я) = {р«(Х, Е), ов(ув, ?)>, (4.27)
а=1, 2, 3, 5 = р}, р = 2, 3; / = 1, 2, ..., N..
Этим компонентам будем сопоставлять функции, равные сумме
и (X, Е) - р« (X, Е) + Ц Ц>в (*„) ав 0/р, Я). (4.28)
Слагаемые г|)в(#в)ов(г/?, ?0 будем называть кластерными сферическими волнами. Через ВЕ будем обозначать класс вектор-функций Р{Х, Е) с компонентами /а:
ЛХ, Е) = {/ДХ, Я), /2(Х,Я), /3(Х, ?)},
асимптотика 'которых определяется равенствами (4.25)— (4.27), и через БЕ — множество функций, асимптотически представимых в виде суммы
/(*, Я) ~ 2/«(*,•?). (4.29)
а
Мы не будем уточнять степень гладкости функций, если это не требуется существом дела.
Ниже мы будем рассматривать классы ФЕ, ВЕ и ?Ь', элементы которых зависят от дополнительных параметров. Мы будем указывать эти параметры в обозначениях этих классов.
Перейдем к описанию координатной асимптотики волновых функций. Рассмотрим сначала функции ЧМХ, рА) при А Ф 0. Мы зададим эти функции в следующей нормировке:
Тл РЛ = 6ХР <' (х> р')} 11а (р'' рл) *р'-
(4.30)
140
гл. iv. конфигурационное пространство
Покажем, что справедливо представление УЛХ, рА)-%А(Х1 рА) + ФА(Х, рА\
(4.31)
где функция ФА(Х, ра)"'принадлежит классу 8Е(рА) при Е = Ра— х>а- Мы увидим также, что амплитуды сферических волн в К3 и К6 выражаются через компоненты Г-матрицы на энергетической поверхности формулами
рвл(ув, РА)= .
- - 2я2#БА(Уе + х%ув, Ра} Еа(Ра) + Ю), (4.32) рол{Х,рА) =
= - (л/2)1/2 ЕТТ0А ( УЩ X, рА, ЕА (рА) + Ю),
Прежде чем доказать эти формулы, обсудим физический смысл слагаемых в представлениях (4.31) и (4.28). Первое слагаемое в (4.31), которое мы будем называть падающей волной, описывает начальное состояние системы, а второе слахаемое — рассеянные волны. Эти термины ислользуются в том же смысле, что и в случае задачи двух тел. При этом каждому физическому процессу соответствует определенное слагаемое в (4.28). Процесса^ упругого рассеяния связанной пары а на третьей частице и, процессам перестройки связанных пар (В ^ А) отвечают кластерные сферические волны ^рА(ха)оА(уа) и $в(х&)ов(Уи), В ФА, соответственно. Три свободные частицы в конечном состоянии описываются шестимерной сферической волной. Если какой-либо канал фА закрыт, Е < ЕА, то сопоставляемое ему слагаемое в (4.29) экспоненциально убывает как ехр {—~]/Е — ЕА\уа\}. В частности, шестимерная сферическая волна переходит в затухающую экспоненту |Х|~5/2ехр{—1/Е\Х\} при Е<0.
