Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Перечисленные слагаемые играют различную роль в зависимости от положения точки X в конфигурационном пространстве: они осциллируют в одних направлениях и убывают в других. Например, если частицы пары а разделены слабо, так что выполняется неравенство
то старшими по порядку являются кластерные сферические волны ^А(ха) оА(г/а). Соответствующую область коы-
(4.32')
\ха\ <а(1+ \уа\)\
v < 1/2,
(4.33)
§ 2. волновые функции для системы трех тел
141
Я,
I I I
I
I
! ®п
фигурационного пространства мы будем обозначать через ?2«(а; V). Поправочное слагаемое, отвечающее шестимерной сферической^ волне, является квадратичпо интегрируемым в йа(а, V), и поэтому явный вид этого слагаемого здесь несуществен. Это обстоятельство мы будем учитывать при постановке граничных задач для волновых функций.
В области Й0(#, V), где все частицы разделены сильно и для всех а — 1, 2, 3 выполнены неравенства, противоположные {4.33), собственные функции гМ#а) быстро убывают и аннулируют вклад кластерных сферических волн. Асимптотика У?А(Х1 рА) определяется тогда шестимерной сферической волной. Указанные области конфигурационного пространства изображены на рис. И.
Докая^ем асимптотические формулы. Подстдвляя равенство (3.63) в интеграл (4.30), получаем представление (4.31), где функция ФА имеет вид суммы интегралов
ФрА(х,Ра) = иу(^У(Г^^>+ю>.
Рис. 11
(4.34)
Согласно (3.62) ядра Т$А равны сумме гладких и сингулярных членов. Последние преобразуем с помощью тождества
Фа Ш (Р'*-Еа (рА) - Ю)"1 {Ев (р'в) -- ЕА (рА) - /О)"1 = - ^А (к'А) ((Р'2 - ЕА (рА) - Ю)-1 -
-(Ев(рв)-ЕА(рА)-Ю)-1)%
где в правой части разделены трехчастичные и двухчастичные особенности. В результате функцию Ф$А(Х, рА) представим в виде суммы:
Фм(*> Ра) = Рэа(Х, рА) + Е^вЫсТба(^, Ра).
(4.35)
Заметим теперь, что асимптотика интегралов аВл(г/з, Рл) определяется двухчастичными полюсными особенностями
142
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
(^(Л-^М-й)'1
и может быть найдена с по-
мощью формулы, аналогичной (4.4). Получим сферическую волну, амплитуда которой выражается через компоненты Г-матрицы на энергетической поверхности формулой (4.32).
Асимптотика шестимерного интеграла ФРА определяется полюсной особенностью СР'2 — ЕА(рл) ~- Ю)^1. Она имеет вид шестимернгой сферической волны с ограниченной амплитудой (4.32'). Собирая все вклады, получим искомое представление.
Волновые функции (X, Р) Приступим теперь к исследованию асимптотики волновой функции У?0(Х^ Р). Зададим эту функцию интегралом (4.30), где множитель (2я)~3/2 заменим единицей. С помощью (3.63) функция 4я0(Х, Р) может быть представлена в виде суммы:
где функции Фа(Х, Р) й Фа0(Х, Р) даются интегралами (4.34), в которых ядра ГРА следует заменить соответственно ядрами Та(Р\ Р, Рг + Ю) и 2 \?а$ (Р\ Р, Р2 + Ю) и по-
э
ложить ЕА = Р2.
В силу (4.3) функции Ф«(Х, Р) выражаются через двухчастичные волновые функции г|)а(#, к) формулами
Фа(Х, Р) = ехр Шуа, Ра)}Ц)Аха, ка). (4.37)
Если координата хх ограничена, эта функция не убывает. При \ха\ 00 рассеянные волны Ц)а(ха, ка) можно заменить' асимптотикой (4.4), так что Фа убывает здесь как иа1-1.
Рассмотрим далее слагаемые \?ао(Х,Р). В отличие от рассмотренного выше случая волновых функций У?А(Х1 РА) подынтегральное выражение \Уао(Х, Р) кроме полюса (Р'2 — Р2 — Ю)""1 имеет трехчастичные особенности, отвечающие первой итерации интегральных уравнений (3.28) 0$>- Мы выделим такие слагаемые и выразим их через двухчастичные волновые функции. С этой целью
Прибавим И ВЫЧТеМ ИЗ ЯДер (Р\г Рх Р* + ^) ВЫ-
Ч^0(Х, Р) = ег'(х'р) + Ф0(Х,Р),
Ф0 р) = 2 (Фа (X, р) + Шао (X, р))9
(4.36)
а
§ 2. волновые функции для системы трех тел 143
ражепия
ТШ(Р', Р) =t*(k'ai VР* - р'аЧа(р'а1 pt\ Р*-р? + ю) X
)( *р(*р04> р»)' kh i0) 1
и заметим, что ядро
ь<№ Р) = Q«l (Р',.р*р2 + *0) - г28 (P't Р)
не имеет больше полюсной трехчастичной особенности, так как числитель и знаменатель А(?а°э одновременно обращаются в нуль. Если ра > ?*2, то несингулярно также и ядро Qap- Таким образом, все трехчастичные особенности содержатся в ядре Т% при ра ^ Р2.
Подставим ядро Та$ в интеграл (4.34) и выберем в качестве независимых переменных интегрирования пару [ha, Ра)- Принимая во внимание равенства (4.3), получим для соответствующего слагаемого волновой функции представление
ХФР(Аэ(р;,рр),Лэ), ? = i>2, (4.38) где через фР обозначено преобразование Фурье функции
^1*'*'---fc» Ю '
В результате представим волновую функцию ЧГ0(Х, Р) в виде суммы:
Y0 (Xt Р) = ехр {* (X, Р)} + 2(3?>(Х, Р) + Wao (X, Р)),
а
(4.39)
где слагаемое Фа выражается через двухчастичные
144 гя. iv. конфигурационное пространство
волновые функции равенством
Ф<?> (хх р)~ Фа (х, р) + 2 Фар (X, Р).
.Функция Т^ао(Х, Р) задается интегралом (4.34), где под-интегральное - выражение имеет только два типа полюсных особенностей: (Р'2 — Р2 — Ю)"1 и (ЕА(рА) —
р2 - ю)-\
Таким образом, асимптотика Жхо(Х, Р) может быть найдена по такой же схеме, как и асимптотика интеграла (4.34) в случае функций Х?А(Х, рА), А Ф 0. Опишем окончательный результат.
