Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к анализу асимптотики функции г|)(я, к). Заметим, что б-функционная часть ядра и(к\ к) (3.22) порождает • плоскую волну ег{1ъ,ж). Отделяя эту волну, представим функцию г|)(я, к) в виде суммы
ф(±)(з, &) = е^*> + ф(±)(я, к), (4.2)
где слагаемое ф(ж, к) задается сингулярным интегралом Ф(±) (х, к) = 1<Ь *«*•«> ' (^'** *>. (4.3)
При больших х асимптотика этого интеграла определяется двумя факторами — критической точкой угловых переменных д0 = х и полюсной особенностью (д2 — к2 + Ю)"1. В результате возникает сферическая волна:
Фш (*, *) ~ /±} (*, к) «Р<±М*И*1> . (4.4)
Амплитуда этой волны выражается через Г-матрицу на энергетической цоверхыости:
/(±)(Я к) = -2пЧ{±\к\х, к, к2±Ю).
Обсудим физический смысл этих формул. Плоская волна, которая остается, -если выключить взаимодействие между частицами, описывает свободное движение частиц. Эта волна отвечает двум различным потокам частиц — частицам, которые движутся навстречу одна другой (падающая волна), и частицам, которые разлетаются после столкновения (уходящие волны). Это свойство отрая^ает
§ 1/СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ 131
асимптотическое представление
9тт1 / ^ ^ „-аым - - ,1|Ы1*1\ ~щ («(-*Г-|71--6<*. *)ПТГ)' (4'5)
где б-функция 6(#, к) определяется равенством
§й%6(х, к)!(к) = 1(х).
Здесь первое слагаемое описывает сходящиеся (падающие) волны, а второе — расходящиеся волны. Чтобы убедиться в справедливости (4.5), рассмотрим интеграл по единичной сфере
1{х) = \йке1(х'к^$).
Введем в качестве переменных интегрирования угловые координаты | = х), ср. Интегрируя относительно \ по частям, получим асимптотическую формулу
2тт/ 1Р-г\к\\х\ ^ Л\Щ\х\ ^ \
из которой немедленно вытекает (4.-5).
Второе слагаемое в (4.2) содержит всю информацию о столкновениях. В случае функций а|з(+) оно имеет вид расходящихся сферических волн, так что амплитуда- /(+) определяет плотность вероятности рассеяния частицы в направлении х. Действительно, плотность потока, частиц через площадку й8 на сфере радиуса Я в направлении х задается формулой
7 = — (ф* дл- - ф ^ №<Гх или, с учетом асимптотических формул (4.4), 1 ~ "^3 I / Я к) Р ^х.
Напомним; что аналогичное выражение (1.42) встречалось в главе I. Эти соображения естественно относятся и к функциям ф("Ч^, к)1 которые описывают сходящиеся сферические волны.
Мы будем называть функции ср(±)(?, к) рассеянными волнами в том смысле, что они описывают результат столкновения. Функции ехр{/(х, к)} будем называть па-9*
132 ^л. iv. конфигурационной пространство
Я->оо
Мы должны проверить далее, что указанные граничные задачи однозначно разрешимы, и тем самым оправдать дифференциальный формализм. Наиболее подходят для этого интегральные уравнения типа Фредгольма в конфигурационном пространстве. Сведем к ним граничную задачу (4.7). С этой целью воспользуемся формулой Грина:
|кАма - и^щ) д& = | (иг - и2 ^) (4.8)
здесь через обозначена производная по нормали к границе д?2 области ?2. Пусть г0(х, х', %) — функция Грина оператора кинетической энергии:
/* ' \ 1 ехр{* ТА I х — х'\} //т
г0(*, *, г) = ^ РХ,;_'хЧ—^ (4.9)
Положим в (4.8) ^1 = ф(±)(а:', к) и и2 = г0{х, х', к2±Ю). В качестве области интегрирования возьмем шар УК радиуса В. Устремим затем В к бесконечности. В поверхностном интеграле в правой части (4.8) функции ф(±)(#, к) и г0(х, х', к2 ± ?0) можно тогда заменить асимптотическими выражениями. Заметим далее, что при фиксированном х и х -> °° справедлива формула
\х-х'\~\х'\-(х\ х) + 0(\х\\х'\~2), (4.10)
дающими волнами, имея в виду роль первого слагаемого в представлении (4.5).
Итак, мы видим, что решение уравнения Шредипгера, определяющее волновые функции, нужно искать в классе функций вида (4.2), где функции ф(±)(#, к) асимптотически принимают форму сферических воли (4.4). Альтернативно, можно рассматривать неоднородное уравнение
(-Д + и(х) - ?)ф, к) = *> (4.7)
для рассеянных волн. Его решение асимптотически имеет вид (4.4), т. е. удовлетворяет условиям излучения
§ 1. СЙСТЯМА ДВУХ ЧАСТИЦ Ш
из которой следует асимптотическое представление
г,(х, х', *» ± Ю) ~ А.вТ»М*.^? «Е1±|1*11?Л, (4.11)
т! "е. функция Грина г0(х, х', к2 ± Ю) асимптотически цринимает вид сферической волны. Такой же вид имеет и функция ф(#', к). Поскольку эти функции входят в подынтегральное выражение в виде антисимметричной комбинации, отвечающие им старшие члены порядка 0(Я~2) взаимно сократятся. Остаток же стремится к нулю при Н °°. Подынтегральное выражение в левой части (4.8) преобразуем с помощью уравнения Шредингера следующим образом:
Ф(±) (*', к) Ах>г0 (х, х\ к2 ± Ю) — г0 (я, х\ к2 ± Ю)Х
X АЛ/ф(±)(*', к) = ф {х'у к) 8(х- х9) - г0(х, х\ к2 ± Ю)Х
X 17(аг')ф(±)(^» *) — го(*. ^&2±Ю)^>хр{ф',?)}.
Обозначая г|)(±)(^, /с) = еНк'х) + ф(х, /с), получим следующее интегральное уравнение:
ф<±> (хг к) =
-^«-11ехр{^'гу|} 17{у)^(±)А)- (4-12)
Итак, мы свели задачу к изучению интегрального оператора с ядром
а(х,у,г) = -^'^};-^ Ну).
Естественно рассматривать этот оператор па множестве убывающих непрерывных функций. Предположим, что эти функции подчиняются оценке
