Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, рассмотрим проитерированную один раз систему уравнений (3.68), п = 0:
у,фу2 1 2
Решение этой системы при г = Ев(р'р) определяет компоненты волновых операторов ив (3.64).
Учитывая представление (3.117) для ядер ?3, можно убедиться, что все операторы которые задают ядра
проитерированной системы, кроме (Й?, имеют достаточно гладкие ядра при ъ < 0, при любых \х^0. Более точно, указанные ядра при (х I 0 могут приобретать слабые особенности, которые исчезают при дальнейшем итерировании системы уравнений (3.68). Рассмотрим наиболее опасный оператор (^зх. Его ядро может быть
124 гл. iii. метод ийтегралышх уравнений
2п2 (| рх - Р[ |2 +>2) (fcj (p>v h) + х.) (pj _ _ Ю)
, (3.118)
где Я = п1|5121"1. Заметим далее, что в точкеР1 = Ль где. сосредоточена кулоновская особенность, справедливы равенства
Ф1 (*1 (Ре. = Ф1 №1), К (Рз, Р1) в *1* так что сингулярная часть (3.118) принимает простой вид: (2{С)(Р,Р') , = (?(0)(Р, Р') =
2»а(|р1»Р1|+^)р;-рГ-'?'
При этом разность (?(с) — ()(0) имеет более слабые особенности, которые сглаживаются при дальнейшем итерировании системы, в то время как основная особенность (3.119) не исчезает. Запишем проитерированную систему уравнений (3.68) в матричном виде
со = О)0 + Аоз,
где вектор-функция о) задается компонентами (а)4, о)2, о)3), а матричный оператор А — компонентами Аат = ^ 2(1 — ) 0.ау{. На основании изложенных выше ре-
4 1 д
зультатов представим оператор А в виде суммы двух
членов
А = А0 + А,
где оператор А0 порождается сингулярным ядром ()(0), а оператор А включает все более гладкие ядра. Действуя по схеме, использованной для вывода компактных уравнений (3.28), мы далее перепишем в левую часть слагаемое А0со, ответственное за появление кулоновских особенностей при р 0, и затем обратим оператор (I — А0).
представлено в виде
<№ (р, р', е1 (р[) + Ю) = ?(с) (рх р') + q (р, р'),
где ядро (?(с), содержащее старшие кулоновские особенности, дается формулой
$ в. заряженные частицы 125
Обращение оператора I — А0 аналогично решению интегрального уравнения с сепарабельным ядром и может быть выполнено явно. Обозначим
яр = (I — Ао)-1^. Компонента я|)(0) вектор-функции -ф представляется в виде 1>(0> (рг Рг) = Ъ IК (Р1, р'г) Фх (?) со(1) (Р') я?бри
где неизвестное ядро К (ри р[) удовлетворяет уравнению
к (рх р')=нр-р')- 2^2 ,01 г^ё%.
2л р — р — г0*1\р — д I + \1
Это уравнение в точности совпадает с уравнением теории возмущений для экранированного кулоновского потенциала (3.115). Отсюда следует, что после перенормировки
мы моя^ем перейти к пределу р I 0 в уравнении для вектора со и получить следующее уравнение:
о) = ф0+ а-Ао^Ао, ф0= (I— А0)г1(о0: (3.120)
Данное уравнение представляет собой искомую модификацию компактных интегральных уравнений (3.28) при Ке^<0.
Наряду с методом, в котором производится экранирование кулоновского потенциала, для обращения сингулярных кулоновских операторов может быть также использована процедура прямого построения обратного оператора. Это возможно в силу того, что, зная решение (3.111) уравнения (3.112), можно в явном виде вычислить ядро оператора (I—-Кс)-1, где Кс — кулоновский оператор из (3.110) с ядром
тт ( 1\ _ п 1__1
ко{р1р)--—^р2_е_ю1р_р,г
Именно, справедливо представление
а-к,,)-1-!-]*,,
где N0 — интегральный оператор, ядро которого выражается через парную кулоновскую Г-матрицу:
(Р, Р') = и{р, р'% р'г + Ю)(р* -Е- Ю)-\
126
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Последняя дается равенством
*с (р, р\ 2) =
_ п п'
1
2п2\р-р'\2 Д2(р2-г)(р'2-г)
о
Х(1-№-\ (3.121)
где Т1 = п/Шг) и х2 = 1 +
(р*-,)(р*-,)
0 =
а? + 1 а; — Г
Наметим схему прямого обращения кулоновского сингулярного оператора на примере рассмотренной выше модели с одной заряженной парой. Теперь мы должны перестраивать интегральное уравнение (3.28) непосредственно для чисто кулоновского взаимодействия. Как и при |х Ф О, можно убедиться, что наиболее сингулярная часть интегральных ядер имеет вид (3.119), где следует положить \х = 0. Повторяя рассуждения, которые привели нас к модифицированному уравнению (3.120), мы получим компактные интегральные уравнения, где вместо оператора (I — А0)-1 следует подставить оператор I — N0, известный в явном виде.
Случаи, когда заряжены все три частицы и парные подсистемы могут иметь произвольное число связанных состояний, может быть рассмотрен аналогично. Наиболее опасные сингулярности возникают в ядрах (?ар (а, Р = = 1, 2, 3) от пересечения кулоновских сингулярностей
—Рр|~~2, содержащихся в ядре Г-матрицы
?а(&а(ра, Рр), ка, ъ — р2), с полюсными особенностями
(Яв(Рр)- Е - Ю)-1 ядра *э(Ар (ра, р'^), р'р, р^ + Ю). При
этом обращение соответствующего оператора (I —А0)-1 сводится к решению набора независимых задач типа (3.110) или (3.104), и окончательное модифицированное уравнение может быть представлено в виде (3.120).
Указанные особенности интегральных уравнений (3.28) имеют простой физический смысл. Рассмотрим,- например, рассеяние частицы 1 на мишени, состоящей из связанной пары (23). Когда частица неограниченно удаляется от мишени, между ними остается кулоновское взаимодействие, которое асимптотически имеет вид
