Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркурьев С.П. -> "Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц" -> 45

Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.

Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц — М.: Наука, 1985 . — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantteordlyasisneschas1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 118 >> Следующая

В этом параграфе мы опишем координатную асимптотику слагаемых Фа и Фар, отвечающих однократным'и двукратным двухчастичным столкновениям. Мы покажем, что эти слагаемые занимают промежуточное положение между плоскими и сферическими волнами. Слагаемое Ф<*
150
гл. iv. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
имеет порядок 0(|ха1-1), а порядок слагаемого Фар изменяется в пределах от 0(\Х\-2) до 0{\Х\~Ъ/2).
В эвристических целях мы будем пользоваться терминологией, которая применяется в дифракционных задачах. В. связи с этим следует отметить, что как в геометрическом отношении, так и с точки зрения математического аппарата квантовая задача рассеяния для системы трех частиц имеет много общего с задачей дифракции на полупрозрачном клине. Мы проведем сравнение между этими двумя задачами в конце параграфа.
Однократные и двукратные столкновения классических частиц. Мы докажем ниже, что показатели быстро осциллирующих экспонент, определяющих координатную асимптотику функций Фа и ФаР, можно описать в терминах действий. Поэтому целесообразно рассмотреть сначала процессы однократных и двукратных столкновений классических частиц и выразить асимптотические действия через кинематические переменные.
Процесс однократного столкновения пары а схематически представлен на рис. 12, где через ка и ра обозначены относительные импульсы частиц до столкновения и через ка% Ра — их относительные импульсы после столкновения. Асимптотически, вне радиуса действия сил, справедливы равенства р'а = Ра и ка = | ка \ ха. Для укороченного действия У^а, отвечающего асимптотическому
Рис. 12
Рос
*ТТ*) Ра Рис. 13
движению частиц, находим с учетом этих соотношений представление
1Ега~\ка\ \ха\ + (р
Рассмотрим далее процесс двукратного столкновения частиц. Пусть сталкиваются сначала частицы пары р, а затем — пары а. Схематически этот процесс представлен на рис. 13. Через &аР и /?ар обозначим относительные
g з. вклад Двухчастичные столкновений l5l
импульсы частиц после столкновений. Соответствующее укороченное действие определяется тогда выра-
жением
T?Za?= \ка,\\ха\ +(paz, уа). (4.46)
При этом импульсы ка$ и /?аР могут быть найдены с помощью принципа наименьшего действия и законов сохранения импульса и энергии в последовательных двухчастичных столкновениях. Эти импульсы даются следующими формулами:
&a? = C^q + S^p Pa?--S^%a + C<*?P?>
Здесь E = k% + — кинетическая энергия, ka и pa — относительные импульсы частиц до столкновений. Промежуточный относительный импульс g?a пары ? определяется соотношениями
^?oc =1^1 (C0S 9<*?P? + sin 9cx? COS фар42) +
+ sin 0a?sin Фа/Р3)), = A?, (4.47')
где векторы p?, и ?? образуют ортогональный базис в R3:
^?2) = — ctg 0?p? + cosec G?fe?, cos9? = (A?, p?), 43) = [p?, 42)]. Углы Ba? и фаР определяются из уравнений
4Za?=0, ^Za?=0* (4-48)
которые вытекают из принципа наименьшего действия. При этом функция Za? выражается через 6a? и фар формулами (4.46) —(4.48).
Из этих равенств находим, что точка q$a лежит в плоскости, натянутой на векторы p? и z/a, а для Za? получаем представление
VEZat=\xa\(Eat + 2SatCaM |рр| COS 6a?)1/2 -
~ 5a?|j/a| I ftp I COS (9a? - 8ap) + Ca?(/??, l/a),
152
PA. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
где Еа$ = ca?u?. + Sa?P? и cos 9a? = (уа, р&). Угол Ga? определяется из уравнения (4.48), решение которого удается найти, в явйом виде лишь для нескольких предельных случаев. Например, если 6tt? = 0, то для G«? получаем два значения: 0a?2) = 0, л.
Из определения функций za и Z«? следует, что они удовлетворяют уравнению эйконала
|VL(Z)i2 = l. (4.49)
Мы будем называть функции Za однократными, а функции Za? — двукратйыми эйконалами. Отметим, что фазы плоских и сферических волн (X, Р) и |Х| также подчиняются уравнению эйконала. Мы будем называть эти функции плоским и сферическим эйконалами.
Асимптотика функций Фа и Фар. Приступим к исследованию координатной асимптотики слагаемых Фа и Фар.
Если |#а1 00, то, как мы отмечали в предыдущем параграфе, двухчастичные функции <ра(#, к) в (4.37) можно заменить их асимптотическими выражениями (4.4). В старшем порядке получим формулу
Ф« (X, Р) ~ eXV[\YjZa] (/«. Ob, ка) + 0{\х« |-v)>f
(4.50)
где fa(xa, ка) — амплитуда рассеяния для волновой функции ifaUa, К). ОтМвТИМ, ЧТО вСЛИ ПОТСНЦИаЛЫ VaiXa) убы-
вают быстрее любой степени 1#а1~^, то асимптотические разложения двухчастичных волновых функций можно дополнить членами младшего порядка l#al""j, / == 2, 3,.. так, чтобы уравнение Шредингера для асимптотического решения Ф« выполнялось с точностью до произвольной степени Za .
Сложнее найти асимптотику функций Фар. Мы рассмотрим только наиболее типичный случай, когда все частицы сильно разделены до и после столкновения. Более точно, будем предполагать выполненными условия
|*a|>*(l + |ifa|)v, V>1/2A
к1>\ХГ^\ v'>l/2. (4.51)
§ 3. ВКЛАД ДВУХЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 153ч
Здесь
Za (Ра, X) = ф= ((ра, Уа) + Ке-р. | *а |) (4.53)
ВС
Уар(^а, Ра, р) =
= **(Ve- piха, Ve - pa k'a^e- pi + to) X
X^(*jja,ftp,up+-*0). (4.54)
Главная часть этого интеграла при Ш оо порождается характеристическими точками двух типов — окрестностью единственной точки стационарной фазы Ра\ р{а = Ё1/2 \ X \~~г уа, которая находится из уравнения
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed