Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
~(с), . ^оо_
§. 6. ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
127
С другой стороны, преобразование Фурье потенциала Уа совпадает с кулоновской особенностью ^г\Ра "~" ?а|~2»
подлежащей обращению в интегральных уравнениях (3.28). Тем самым сингулярности (3.122) имеют двухчастичное происхождение и их обращение сводится к решению парных задач с эффективными потенциалами и(а\ Именно это обстоятельство позволило нам построить компактные уравнения при отрицательных энергиях, когда все процессы являются в существенном двухчастичными.
Значительно более серьезные трудности прявляются при положительных энергиях, когда открывается канал развала на три свободные частицы. В этом случае возникает новый тип особенностей из-за пересечения полюса свободной резольвенты {Р1 — %)~* с кулоновскими сингу-лярностями | — |~2 парных Г-матриц. В результате мы сталкиваемся с проблемой обращения сингулярной части ядер (?а|з, которая не сводится к эффективной двухчастичной задаче. До настоящего времени подобное прямое обращение осуществить не удалось. Тем не менее, выделение трехчастичных кулоновскнх сингулярностей может быть сделано с помощью воспомогательыых конструкций в конфигурационном пространстве, основанных на локальности уравнения Шредингера. Мы опишем соответствующий подход в следующей главе.
Коротко остановимся на методах модификации интегральных уравнений для N частиц. Как й в системе трех тел, мы можем ввести новый «невозмущенный» гамильтониан Нс, в который включены все чисто кулоновскце потенциалы
нс = н0+ 2 У«_г
(с) / \ naN—l
С VaN-l{XaN~l) ^ П;-I' И Определить ПО ОТНОШЕНИЮ К
I aN-l\
нему новые компоненты М(Двя У-матрицы равенствами (3.97) — (3.102), где операторы г1о следует заменить на Яс{г) = (Нс — z)-i и потенциалыУадг_1 — на короткодействующие части Уа^^ Уа^_х= У^_х + Уд^_гТакие модифицированные уравнения будут компактными, но они обладают недостатками, перечисленными выше. Глав-
128
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ное — мы не знаем свойств операторов для чисто
кулоновской проблемы.
Если энергия рассеяния не превосходит величины ближайшего трехкластерного порога, перестройка уравнений (3.103) может быть произведена с помощью обращения сингулярных кулоновских вкладов, имеющих двух-кластерную природу. Как мы уже отмечали выше, ядра уравнений (3.103) становятся связными после N — 2 итераций. Можно показать, что в присутствии дальнодей-ствующих потенциалов наиболее опасная сингулярность этих ядер порождается пересечением кластерных особенностей (2?а (/?а ) — zy^1 с эффективным кулоновским
взаимодействием] ра —р'а |~"2. Процедура обращения таких
сингулярностей полностью аналогична проведенной в системе трех тел. При этом построение обратного оператора (I —А0)-1 сводится к решению набора двухчастичных кулоновских задач типа (3.110).
На этом мы закончим описание компактных уравнений в импульсном представлении. Следующие две главы будут посвящены рассмотрению свойств ядра резольвенты и волновых операторов в конфигурационном пространстве.
Глава IV
КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО. НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Эта глава посвящена исследованию свойств волновых функций и ядра резольвенты в координатном представлении. Мы покажем, в частности, что волновые функции можно определить как решения уравнения Шредин-гера или дифференциальных уравнений для компонент, удовлетворяющие определенным асимптотическим граничным условиям. Роль такого формализма, называемого дифференциальным, определяется, в первую очередь, эффективными вычислительными методами, которые могут быть развиты на основе граничных задач для волновых функций.
В этой главе мы рассмотрим системы нейтральных частиц. Задача рассеяния для заряженных частиц в конфигурационном пространстве будет рассмотрена в главе V.
§ 1. Система двух частиц
Следуя плану, который был намечен в предыдущей главе, мы рассмотрим сначала задачу рассеяния для двух частиц. Рассуждения в этом параграфе будут служить образцом при рассмотрении систем нескольких частиц.
Волновые функции. Рассмотрим уравнение Шредин-гера для системы двух частиц
(~А + и(х)-к2Щх, «=0.
Чтобы однозначно определить волновые функции, мы должны присоединить к этому уравнению асимптотические граничные условия. Последние можно найти, например, изучив асимптотику преобразования Фурье ядер волновых операторов
1|)(±) (х, к) => | 'У±} (к'\ к) дк' (4.1)
при \х\ -> оо. В отличие от (1.13), нормировочный множитель" здесь выбран равным единице. Это сделано в со-
9 С. П5 Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
130
гл. iv. конфигурационное пространство
ответствии с традицией, принятой в физической литературе.
При, \х\ ~+ °° интеграл (4.1) является быстро осциллирующим и его асимптотика может быть найдена с по-, мощью метода стационарной фазы. При этом, поскольку подынтегральное выражение является сингулярным, результат вычисления определяется не только критическими точками, но и положением сингулярностей. Подобные интегралы будут встречаться и в последующих параграфах. Мы приведем сводку результатов об асимптотике таких интегралов в последнем параграфе этой главы. Всюду в остальных параграфах мы будем пользоваться асимптотическими формулами, не вникая в детали их обоснования.
