Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Почти во всех направлениях конфигурационного пространства слагаемое №ао(Х, Р) асимптотически имеет вид суммы (4.35) кластерных и шестймерных сферических волн. Амплитуды этих волн Рао{Уа, Р) и В^{Х9 Р) связаны с компонентами Г-матрицы на энергетической поверхности соотношениями
(р'а, р)~- ж 2 /ар (р'а, р,е + ю),
р
р'1 = е + х\, (4.40)
р$ (рх П = Со (е)(2 ма» (Л + ю) -
V Р
- Р*4 Р'а + Ю) - 2 ?«р (Р, р2 = р,2=е.
Р*=а /
(4.41)
Здесь С„(е) — -е?я/4?3/4я(2я)Б/2, а ядро Г«|> дается равенством
ГаЭ(Р4Р,) =
1 'а 1 *« 1 С + *0 Ч(1 *Э 1 + *°)
| |3 кЬх. ~" ^| *°
(4.42)
где й4р = &а (ра, р Д = Ар[(ра, Р Д Ра = | X р1^7"2^.
В соответствии с описанной выше интерпретацией сферических волн, кластерные сферические волны можно сопоставить процессам захвата частиц (3—>¦ 2), а шестимерные сферические волны — «истинно» трехчастичным
§ 2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СИСТЕМЫ Т?ЕХ ТЕЛ
145
процессам упругого рассеяния (3-^3). Слагаемое Ф 8 = = 2Фа\ порожденное первыми итерациями уравнений
а
(3.28), отвечает процессам однократных и двухкратных парных столкновений.
Заметим, однако, что шестимерные сферические волны не во всех направлениях конфигурационного пространства правильно- описывают асимптотику Й^о(Х, Р). Дело в том, что, как мы видели в предыдущей главе, связная часть Г-матрицы на энергетической поверхности
2 ^оф (Р'3 Р9 Р2 +1 0)а Кроме ПОЛЮСНЫХ ОСОбеННОСТвЙ,
имеет и более слабые особенности, отвечающие итерациям 0$$ до четвертого порядка. Поэтому амплитуда может обращаться в бесконечность, если вектор X попадает на особое направление. С помощью подходящих замен переменных интегрирования4 соответствующие этим итерациям интегралы можно привести к одномерным быстро осциллирующим интегралам со степенными особенностями. Асимптотика таких интегралов будет достроена в § 5. Мы не будем, однако, описывать громоздкие замены переменных и анализировать асимптотику таких интегралов., Их явный вид не используется в задачах^ которые рассматриваются в этой книге.
Чтобы не оговаривать каждый раз указанные особенности асимптотических формул, мы введем в рассмотрение более широкие классы функций Фд, 8, ВЕ,г и Бе, е-Допускается, что в этом случае амплитуды шестимерных сферических волн могут иметь слабые особенности в некоторых направлениях конфигурационного пространства и абсолютно интегрируемые на единичной сфере |Р| = 1 со степенью 8.
Итак, мы видим, что волновые функции в системе трех тел имеют качественно различное асимптотическое поведение в зависимости от типа начального состояния. Если асимптотика функций с двумя кластерами в начальном состоянии определяется простой суперпозицией сферических и кластерных волн, отвечающих конечным состояниям, то для описания волновых функций с тремя- свободными частицами в начальном состоянии приходится различать также.и более детализированные процессы попарного перерассеяния. Физическая причина их появления обусловлена тем, что область, где могут происходить попарпые столкновения свободных частиц, не является
Ю С, П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
146
ГЛ. IV. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
ограниченной в конфигурационном пространстве. Напротив, область, где сталкиваются связанные пары и третья частица, сосредоточена в окрестности начала координат и ее размер обусловлен радиусом действия сил. Это обстоятельство определяет привилегированное с точки зрения асимптотики положение волновых функций с двумя кластерами в начальном состоянии как в системе трех тел, так и в системах произвольного числа частиц.
Детальный анализ координатной асимптотики слагаемых, описывающих процессы попарного перерассеяния, мы проведем в следующем параграфе. Сейчас же перейдем к формулировке граничных задач для волновых функций.
Граничные задачи. Зная асимптотику волновых функций, мы можем поставить граничные задачи на основе уравнения Шредингера. Как, и в системе двух тел, мы отделим падающие волны
?а(Х, Ра) « Ха(Х, Ра) + Фа(Х, Ра)
и будем рассматривать неоднородное уравнение Шредингера для рассеянных волн
А + 2 Ы - #а)Фа (X, рА) = - УА%А (X, рА).
(4.43)
Здесь, как и в главе II, через УА обозначена часть взаимодействия, отсутствующая в канале 4, т. е.
УА = 2 У$ при А = {а, *}, ГА = 2^е при А = 0.
Если в начальном канале имеется только два кластера, асимптотические условия для соответствующих волновых функций сводятся к заданию суммы кластерных и шестимерных сферических волн. Другими словами, решение ФА(АГ, рА) уравнения (4.43) при А Ф 0 следует искать
в классе 8еа{Ра)'
Сложнее выглядят асимптотические условия для функций ЧГ0(АГ, Р). В данном случае, кроме плоской волны ехрШ-У, Р)}, следует также выделять медленно убывающие слагаемые, отвечающие процессам однократных и двукратных столкновений. Последние известны в явном виде, Так что определению подлежат только «истинное трехчастичные рассеянные волны, которые следует искать в классе 5е)8(Р), е < 2. Мы не будем выписывать здесь
§ 2. волновые функции для системы трех тел 147
довольно громоздкие уравнения для таких функций. Все необходимые для их вывода соотношения мы уже привели выше.
