Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
рекуррентных формул
М{1% - M^i+26 (ai+1, б (аи Ьд -
(3.98)
8 С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
114 гл. iii. метод интегральных уравнений
где первое суммирование ведется по разбиениям di+ 1, следующим за di и не равным ai+i. Штрих у знака второй суммы означает, что суммирование ведется только по «зацепляющимся» цепочкам Ci+2 и Di+2, для которых выполнены условия cN-i Ф dN-u . . ., ci+2 Ф di+2, dN-i cz <=zcN-2, ..di+3czci+2. При i = N — 2 в правой части по-
являются ,операторы Ма^в^Ч которые, по определению, полагаются равными T^aN_v Если известны компоненты
Мл*]., то компоненты M.a^l±bi+1 и Г-матрица Taft восстанавливаются но формулам
м5Йл+1-2мЙ>1в11в4+Л1 (3.99)
аг
где bi — любое разбиение, предшествующее
T0ft= 2 2м2&. (злоо)
bN-l Аг
Суммирование в (3.100) ведется по всем А{ и 6^-1, причем для каждого bN-t должна быть выбрана цепочка 2?г, bi+h ..., 6iv-,i), такая, что bN-2 ^ bN-i. Вывод (3.99) и (3.100) основан на очевидном соотношении
.22=2, (З.Ю1)
которое называют правилом сумм.
В этих обозначениях операторы М.аквк подчиняются уравнениям
М&1) = мк°а1ВА+1б(аАг Ъи)~
-| № Ж ^ мЙи+ЛМ&1}. (З.Ю2)-Простейшей из систем (3.102) является система уравне-
(а^у_2)
нии для Ма^-х%-11 которая совпадает с уравнениями (3.85). Наиболее детальное разбиение Г-матрицы получается при к = 2. Этому случаю соответствует искомое обобщение компактных уравнений:
МлА = М^б(аа,6я)-
-2 2' m!$3r0md«. (з.юз)
§ 5. система jv частиц Ц5
Здесь в обозначении операторов Мл2в2 опущен индекс а{.
Можно показать, что после N — 2 итераций этих уравнений б-функции в их ядрах цсчезают, что позволяет доказать компактность (3.103) при Imz^O. Случай, когда переменная z выходит на вещественную ось, технически значительно труднее исследовать, и до сих пор не существует полного доказательства компактности при Im z = 0. Однако имеющиеся на сегодняшний день результаты позволяют не сомневаться в компактности этих уравнений и при Im z = 0.
Отметим, что вывод системы уравнений (3.103) основан на процедуре обращения диагональных сингулярных членов в цепочке уравнений типа (3.102) для k = N—l, iV—2, ..., 3. Выше мы описали необходимые детали такого обращения при iV = 4. В общем случае вывод этих уравнений может быть получен индукцией ~г) ->¦ a[N) с помощью весьма громоздких построений. Мы не будем приводить их здесь.
Вместо уравнений для компонент Г-матрицы иногда удобно рассматривать компактные уравнения для компонент волновых операторов, определяемых равенствами
U??a = Hm =F ieR0 (ЕА ± ie) X
2 ею
X 2 Мя2а2 (ЕА ± fe) R0 (ЕА ± iE) LA (ЕА) (3.98')
aN-l
при А Ф 0, а при А = 0 — равенствами U^o = lim =F ieR0 (Е0 ± is) X
X 2 Мв2а2 (Е0 ± ie) R0 (Е0 ± ie) L0 (Е0).
aN-l
Уравнения для этих компонент получаются из (3.103) умножением на операторы =FieR0(?,a ± Ы и T\0(EA±iE)LA и последующим переходом к пределу 8 I 0.
Рассмотрим далее однородную систему уравнений, отвечающую (3.103):
Фа2 = - 2 2' М^,Н0Ф^. (3.104)
Выполняя операции, обратные тем, которые привели нас к уравнениям (3.102) или (3.103), мы вернемся к исходной однородной системе (3.85).. Важно при этом, что каж-8*
116
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
дая из выполняемых при выводе (3.105) операций была обратима, так что при умножении на обратные операторы мы не приобретаем лишних решений. Обозначим через Фа^! компоненты, отвечающие однородному уравнению (3.85). Эти компоненты выражаются через компоненты Фд2 равенством
а2»аз»--'»а^-2
Умножим затем однородные уравнения (3.85) на оператор И0 и обозначим
ха^у__1 А1<Г^а/у—1"
Заметим, что из соотношений (3.95) и (3.96) вытекает равенство
Тс^Но = Вв^Ув^. (3.105)
Отсюда находим, что эти функции удовлетворяют системе уравнений
I ^ЧЛЛ^. (3.106)
Умножая (3.106) на оператор Нал/,— ъ и складывая затем все получившиеся уравнения, найдем, что функция
? = Н02Фа8 (3.107)
удовлетворяет уравнению Шредингера (Н — =0.
Чтобы завершить изучение однородной системы уравнений (3.104), мы должны проверить квадратичную интегрируемость функций (3.107). Это можно сделать по схеме, которую мы обсуждали на примере задачи двух и трех частиц. Конечно, в техническом отношении задача N тел много сложнее. Однако рассуждения в основном имеют стандартный характер и мы не будем описывать их здесь.
Итак, система уравнений (3.103) обладает желаемыми свойствами: к этой системе применима альтернатива Фредгольма, а соответствующее однородное уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для собственных функций.
Посмотрим теперь, какими свойствами обладают решения этой системы.
§ 5. система я частиц
117
Особенности ядер Ма2в2* Свойство ядер Ма2в2 могут быть изучены по такой же схеме, как и в случае ядер ЛТаР для системы трех тел. Мы не будем, однако, приводить здесь необходимые для исследования системы (3.103) рассуждения, а ограничимся только описанием конечных результатов.
Операторы Ма2в2 можно представить в виде суммы
где через 0.а\в2 обозначены итерации компактных уравнений (3.103) порядка к. Операторы Ма^ подчиняются системе уравнений, аналогичной (3.103), но с другими свободными членами О^а^в1^ Как и ядро резольвенты, ядра Ма2в2 имеют особенности двух типов — полюсные и /б-образные.
