Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
a
и множеством нулей Q(s) сингулярного знаменателя, где
Ц(Ра, Рр) — &| = 0.
Если точка Ра^ расположена достаточно далеко от многообразия Q(s), так что
Н(^°\РР)-*1|>С>0, (4.55)
то вклады характеристических точек в асимптотику Фар можно изучать по отдельности.
В критической точке р^а имеет место равенство
za{p%\x) = \x\,
и ее окрестность порождает сферическую волну в R6, амплитуда которой равна С0 (Е) Tal (| Р \ X, Р). Эту волну можно объединить с «истинно» трехчастичной частью
Используя асимптотическое представление функций (ра(х, к), запишем интеграл Фар в следующем виде:
Фар(Х, Р)~ | <1раехриУЕ2а(р'^Х)}х
154 гл. iv. КОНФИГУРАЦИОННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Проведем внутреннее интегрирование по угловым переменным Э и ф. В силу условий *(4.50) многообразие ?2(8) и точкар^ отделены от границы области интегрирования
и вектор д принимает все значения на единичной сфере. Так как подынтегральное выражение гладко зависит от 6 и ф, координатная асимптотика этого интеграла может быть найдена с помощью метода стационарной фазы. Учитывая, что критическая точка д0 =-= {0и, ф0) определяется
2 Wao из (4.39). В результате получим сферическую вол-
a ^
ну с амплитудой С0(Е)ТС{Х,Р):
тс(хх р) = т( Vex, р, + ю)-
- 2 Та ( /IX, Р, Р2 + Ю). (4.56)
a
Отметим, что если критическая точка pty близка к Q{s), то описанная форма асимптотики теряет смысл, так как амплитуда сферической волны (4.56) обращается в бесконечность, из-за трехчастичных полюсных особенностей ядра Ta?. Ниже мы покажем, что асимптотика ФаР при этом описывается посредством интегралов Френеля.
Перейдем к исследованию вклада полюсной особенности (4.52). Делая под интегралом (4.52) замену переменной q = (р^, р ?), придем к следующему представлению:
С exp {iVElXl Z„(q, Х)\ ~ ^ ч
Ф«?~ J dq 1 \_к2| *а, Р). (4.57)
vE q ? 1
Здесь через Та$ обозначена функция (4.54), выраженная в терминах переменной, q. Функция \x\za дается формулой (4.53), где
Интегрирование ведется йо шару VE радиуса Ei/2\s$a\~l
С Центром В ТОЧКе §о = Ca?(^a?)~V?- ВввДвМ сфврИЧвСКИв
координаты Igl, Э, ф по отношению к вектору рр, так что q = | q I (cos Qp„ + sin 9 cos ф^2) + sin Э sin ф^3))-
§ 3. ВКЛАД ДВУХЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
155
равенствами (4.48), получим асимптотическую формулу
Ф«р~ Ш%ф®{х'р)> (4-58)
где
1/2
-1/2
°5ср
(4.'59)
а функция Фар представляется в виде интеграла ф(1) - 2т С ,/, exp {iZ^ Щ ~ ,g ? , I р| о Р
Функция ZaP(?) определяется формулами (4.46) — (4.48), где следует положить \q\-t, а дифференцирование ZaPU) относительно 6аР вести при фиксированных фар? %а
И уа.
Так как вклад критической точки был изучен выше, мы ограничимся описанием только второго слагаемого Фар. Согласно фррмуле (4.121) иг § 6, асимптотика этого интеграла имеет различный вид в зависимости от взаимного расположения стационарной точки ?=1&ра1 и полюса ?=lfepl. При этом конфигурационное пространство разбивается на две части в соответствии со знаком coap — sign —/b|a). Множество точек, где
(оар = —1, мы будем обозначать через и называть
областью света, а дополнение к нему Qajj* — областью тени. Смысл этих названий станет ясным после того, как мы сравним задачу рассеяния с задачей дифракции плоских волн на.клине.
В области света асимптотика Ф«р определяется вычетом в полюсе и имеет порядок Od^al"1!^!"1), а в области тени это слагаемое экспоненциально мало. Таким образом, имеет место асимптотическая формула
Ф%(Х, Р).
\**\\Уа\
Г$ (X, P)expU/?Zap] Е Кр),
(4.60)
функция единичного скачка, ЕШ = 1, t>0;
выражается через двух-
где ЕШ
ЕШ = 0, t < 0. Амплитуда Т%
15в гл. .iv. Конфигурационное пространство
частичные Г-матрицы на энергетической поверхности равенством
= 7-^-3 t'a (^а | &a? |, #a?, &a? + Ю) *? ( | A? | ??a, A?, 7r| + Ю),
где импульсы fta? и g?a определяются соотношениями (4.47), (4.470.
Если же критическая точка сливается с множеством Q(8), то, как мы отмечали выше, формулы (4.56) и. (4.60) теряют смысл. В этом случае справедливы новые асимптотические представления, использующие интегралы Фре-
оо
неля Ф (t) = J eix*dTi t
V я |*а||Уа J
Здесь через ga? обозначена переменная |a? = Ш — ZaP. Она равна нулю на границе Q«? между областями Q«V и Qafr. Если |a? оо и шар = 1, т. е. точка лежит в тени, то, заменяя интеграл Френеля его асимптотикой Ф (t) ~
~1ГГ^*2> можно преобразовать Фа$ в сферическую волну, амплитуда которой равна С0 (Е) Tal (1^1^^)» В другом крайнем случае, когда точТса X переходит в область света, coaP*= — 1, интеграл Френеля отрицательного аргумента может быть представлен в виде суммы постоянной и стремящегося к нулю слагаемого:
В результате получим сумму сферической волны и слагаемого Фа|3, что обеспечивает гладкое сшивание переходной асимптотики с обычным режимом (4.60).
Отметим, что интеграл Френедя Ф(Е1/%Щ^а^) можно считать функцией только i?1/4ea?2, . -если рассматривать эту переменную как точку на комплексной плоскости с разрезом П0 (рис. 14). При этом области 0$ отвечают вещественные значения ?a? на верхнем берегу разреза, arg ?a? = 0, а перемещению X в область тени отвечает
