Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
также от положения системы, т. е. от радиуса-вектора q изображающей точки
М:
Г = Г(q, д), B = B(q,q).
Все определения для этих сил сохраняются без всякого изменения, если
только радиус-вектор q точки М рассматривать как параметр. В частности,
будем считать, что силы Г и В обращаются в нуль при q = О
Г (q, 0) = 0, В (q, 0) = 0, (6.38)
причем предполагается, что при q Ф 0 эти силы не равны нулю при любых
значениях q, расположенных вблизи точки q = 0.
6 Д. Р, Меркин
162 гл. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Мощность N силы D будет теперь зависеть не только от скорости д, но и от
д
N (</, () - D (q, () ¦ д. (6.39)
Определение полной и частичной диссипации остается почти без изменения:
диссипация называется полной (частичной), если мощность N (q, <) силы D
является определенно-отрицательной (отрицательной) функцией скорости д
при всех значениях д, расположенных вблизи точки д - 0.
Пример 1. Сила Г с линейными относительно скоростей составляющими
Гх = cos РР, Г2 = -cos {5а
гироскопическая, так как ее мощность
N = Гха Г2Р = cos (5 fid + (- cos Ра) $
тождественно равна нулю.
Пример 2. Сила Г с нелинейными относительно скоростей составляющими
Г*1 = (Б С) -*2*3, С2 - {С A) Г3 = (Л В) ^1^2*
где А, В и С - произвольные функции координат хг, х2, х3 и скоростей ij,
r2, гироскопическая, так как ее мощность
N = -j- Г2Г2 + Гз^з
тождественно равна нулю.
Пример 3. Сила D, составляющие которой определяются равенствами 1)
?>i = -[1 + cos2 (9l + 9а)] </| sign qu D2 = -(7j + gf),
является силой положительного сопротивления с полной диссипацией.
Действительно, мощность этой силы
Я = DiA + Di'z = -{(I + cos2 (qt + <}2)Щ | 7i I + <?, + ч\)
представляет определенно-отрицательную функцию скоростей <jj, а2 при
любых q1 и qt (при вычислении N учтено, что -ц sign <7i = | 7i |).
Функция Релея для данных сил имеет вид
F = 4 Г1 +cos2 (?1 -I- я*)]141Р + jil + ъ ?S-
Эта функция удовлетворяет равенствам (6.33), так как
1 7i I3 = 31 7i |8-^- | п | = 3 I* sign 7i. а 71 ап
Пример 4. Методом, изложенным на с. 160-161, силы
01 = -*ЭД, *4"
*) Символ sign х означает знак .т.
g б.З. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 4вЗ
можно разложить на гироскопические и диссипативные составляющие:
1 / > л4 * П - 3\ Г _ 1 / ;4 • _a2i
V 1?2 ^ 1 ^2'* ^ ' 1 (r) ^1 ^
2 лЗгЗ 1 •. -.4 п 2 ,2-3 1 ,51 .
п _ 2 .3.2 1 . .4 "
у1" - -ГГ?]'? 1 2> ^
3- '1 '2 "з" 1 2> ~ Y К'2 "д" '<1 '2
Легко проверить, что гироскопические силы Г, и Г2 удовлетворяют условию
(6.13), а силы Л, и Л, - условию (6.34). Функция F в данном примере равна
F -- - 4 '* 4- 1 7г '-4 О 1 2 ^ 6 71
Так как эта функция определенно-положительна, то имеется полная
диссипация.
§ 6.3. ПостаноЬка задачи
Будем считать, что уравнения возмущенного движения относительно Величин q
и < приведены к виду d дТ дТ от
dl ()<]; dqi; dql:
(6.43)
"-* *
В этих уравнениях Т - определенно-положительная квадратичная форма
скоростей <
^ = ~z~ iS JL U}!ilj};('j' (6-41)
К=1 j'=l
где akJ = ajk - функции q. Предполагается, что яри q = 0 нотенциальная
энергия П равна нулю. Кроме того, предполагается, что при q = 0
обращаются в нуль потенциальные и неконсервативные позиционные силы, а
при q = 0 обращаются в нуль диссипативные и гироскопические силы.
Независимо от способа получения уравнений возмущенного движения (6.40)
функцию Т можно рассматривать как кинетическую энергию приведенной
системы, переменные qk и (к - как обобщенные координаты и скорости, а
члены, стоящие в правых частях этих уравнений,- как потенциальные,
диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы
соответственно. Относительно сил предполагается только, что
6*
164
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
они удовлетворяют сделанным в § 6.2 определениям и условиям существования
и единственности решения дифференциальных уравнений (6.40). Никаких
других ограничений на силы не налагается - они могут быть линейными,
существенно нелинейными (их разложения по степеням q и ( могут начинаться
с членов любого порядка), наконец, они могут быть неаналитическими
функциями координат q и скоростей (.
К уравнениям возмущенного движения (6.40) приводятся все задачи на
исследование устойчивости равновесия механических систем с голономными и
стационарными связями и многие задачи на исследование устойчивости
установившихся и стационарных движений механических, электрических и
электромеханических систем. Не вдаваясь в анализ физической природы
координат q и рассматриваемого явления, будем говорить, что значениям q =
0 и q =0 отвечает равновесие системы, а уравнения (6.40) описывают
возмущенное движение около положения равновесия. Поэтому, говоря об
устойчивости равновесия системы, нужно помнить условный характер этого
выражения - возможно, что на самом деле речь идет об устойчивости
установившегося движения электромеханической системы. Точно так же нужно
помнить условный характер употребляемого здесь слова "сила". В
действительности может оказаться, что члены уравнений (6.40), которые мы
