Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого рациональнее всего воспользоваться равенством (5.50), которое
умножением справа на матрицу А приводится к виду
В А - КА. (5.55)
§ 5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 147
Это матричное уравнение относительно А содержит две известные матрицы (А
задана, а В - нормальная форма Жордана для А и, следовательно, находится
по А). Матричное уравнение (5.55) эквивалентно пг скалярным однородным
уравнениям относительно akJ-, выражающим равенство соответствующих
элементов. Поэтому имеется бесчисленное множество матриц преобразования
А.
Обратную матрицу А"г можно найти из уравнения
которое получается умножением равенства (5.50) слева на А-1.
3. Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к
нормальной форме и содержат производные порядка выше первого. Для того,
чтобы определить элементарные делители и решить вопрос об устойчивости,
нет нужды приводить систему к нормальной форме - достаточно составить
характеристическую Я-матри-цу для исходной системы и исследовать ее.
Покажем это на примере уравнения
Для исследования на устойчивость относительно матриц-столбцов х и х
достаточно определить элементарные делители характеристической Я-матрицы
Действительно, перейдем к системе первого порядка, для чего положим х -
у. Тогда уравнение (5.57) заменится системой двух уравнений первого
порядка
х = у,
Ау- - Ву - Сх.
Характеристическая матрица этой системы имеет вид (элементами служат
матрицы)
Воспользуемся элементарными преобразованиями: умножим второй столбец на Я
и сложим его с первым, после чего переставим их
А~гВ = АЛ"1
(5.56)
Ах + Вх + Сх = 0.
(5.57)
/ (Я) = ЛЯ2 + ВХ + с.
(5.58)
Е
0
148 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ автономных систем
Первую строку умножим на АХ + В и сложим со второй, затем умножим второй
столбец на -1:
/ m F 0 -IF 0 II
Il( '"*||о АХ* + ВХ + С ||о /(Я,) 1г что доказывает сделанное замечание.
Пример 1. Исследуем устойчивость системы, уравнения возмущенного движения
которой имеют вид
- 2хх х% - х§ -
#3 = -4Xl -j_ Х2 _ х3 _ Xi,
^4 Г),Г 1 Х% р - ,Г3 -|- 2х4.
В примере 1 § 5.3 было установлено, что характеристическое уравнение det
(А - ХЕ) = 0 этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных -1.
Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения,
так и относительно элементарного делителя, но он не может испортить
устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается
нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического
уравнения, но простой для элементарных делителей. Следовательно,
невозмущенное движение устойчиво относительно переменных х17 х2, •Г3,
Проиллюстрируем этот вывод. Уравнения возмущенного движения в
канонических переменных состоят из трех независимых между собой групп
(см. нормальную форму Жордана (5.38) для матрицы А):
*1 = б, z2= 0, z3 = z3, z4 = z3 - z4
(первая группа - первое уравнение, вторая группа - второе уравнение,
третья группа - последние два уравнения). Напишем общее решение этих
уравнений:
zl = 201, г2 = г02, z3 - z03e *, z4 - (z04 -j- Zo3t)e
При t -" + oo переменные z3 и z4 стремятся к нулю, a z4 и z2 остаются без
изменения, и при соответствующих начальных условиях их модули могут быть
сделаны сколь угодно малыми. Следовательно, как уже было отмечено,
невозмущенное движение устойчиво относительно совокупности канонических
переменных z4, z2, z3, z4 и тем самым относительно переменных хи х2, х3,
,г4.
Пример 2. Исследуем устойчивость системы, уравнения возмущенного движения
которой имеют вид
= -2хх - х2 - х3 - ж4,
*^2 ^2'
х3 - •"5zj *- 2ж3 2^1,
*4 = 6ж4 -)- 2ж2 [- Зж3 -(- Зж4.
Матрица правой части этих уравнений была рассмотрена в примере 2 § 5.3
(см. матрицу (5.39)). Было установлено, что характеристическое уравнение
det (А - ХЕ) = 0 этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных
-1. Оба корня кратные
§ 5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 149
как относительно характеристического уравнения, так и относительно
элементарных делителей. Так как нулевой корень кратен относительно
элементарного делителя, то невозмугценное движение неустойчиво
относительно х4, х2, х3, х4.
Проиллюстрируем этот вывод. Уравнения возмущенного движения в
канонических переменных состоят из двух независимых между собой групп
(см. нормальную форму Жордана (5.40)):
?4 - 0, ?2 - z4, z3 = z3, ?4 " z3 z4
(первая группа состоит из первого и второго уравнений, а вторая - из
третьего и четвертого уравнений). Напишем общее решение этих уравнений:
Z1 = 2bi, Н ~ z02 2(>lA z3 = z4 ~ (z04 + 20з0е_<-
Так как z2 -" оо при t -> + эо, то невозмущенное движение неустойчиво
относительно совокупности канонических переменных zt, z2, z3, z4 и,
следовательно, относительно хг, х2, х3, х4.
Пример 3. Устойчивость резонанса. Рассмотрим простейший линейный
колебательный контур, на который действует возмущение, изменяющееся по
гармоническому закону. Диффе- оо ренциальное уравнение движения имеет вид
