Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
если ее мощность не равна нулю тождественно. Диссипативным силам
положительного сопротивления отвечает отрицательная мощность
S
M = D-q~ 2 Dkqk^0 (6.14)
к=1
(знак равенства в этом соотношении не может быть тождественным), а силам
отрицательного сопротивления - положительная мощность. Если мощность N
(q) является определенно-отрицательной функцией скоростей дк, то
диссипацию назовем полной; если же мощность N (q) - просто отрицательная
функция скоростей qKt то диссипацию назовем неполной или частичной (в
дальнейшем будет показано, что из этих общих определений следуют
соответствующие определения, введенные для линейных сил сопротивления).
Нам осталось дать общее определение неконсервативных позиционных сил. Из
определения линейной неконсервативной силы следует, что она
перпендикулярна радиусу-вектору q изображающей точки М (R-q = -Pq-q = 0,
так как матрица Р - кососимметричная). Обобщая это свойство, будем
называть любую силу Jt (q), зависящую от координат системы qk,
неконсервативной позиционной силой, если она ортогональна радиусу-вектору
q изображающей точки
S Я^к = 0. (6.15)
Jf=l
Выше было показано, что произвольные силы, линейно зависящие от координат
и скоростей системы, можно
156
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
разложить на потенциальные К, неконсервативные позиционные В,
гироскопические Г и диссипативные D силы. Покажем, что аналогичное
разложение можно произвести для широкого класса нелинейных сил.
Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка
силу Q (q), зависящую только от положения системы, можно разложить на
потенциальную и неконсервативную позиционную, составляющие
Q (?) = - grad П + В (q), (6.16)
где поле R и потенциальная энергия П подлежат определению г).
Доказательство. Умножим обе части равенства (6.16) скалярно на радиус-
вектор изображающей точки q:
Q-Q = - (gradn)-g + Bq, (6.17)
г) Этой теореме можно придать другой, более общий, вид, не связывая ее
с разложением сил [40]. Действительно, назовем для краткости поле
векторов It (g), удовлетворяющее условию ортогональности (6.15),
циркуляционным. Тогда будет справедлива следующая теорема: произвольное
непрерывное вместе со своими производными первого порядка векторное поле
Q (д) всегда можно разложить на потенциальное и циркуляционное поля:
Q (?) = -grad П + R (д),
где поле R (д) и потенциал -П подлежат определению.
Заметим здесь же, что линейное циркуляционное поле R (д) = = Pq, где Р -
кососимметричная матрица, будет одновременно и соленоидальным полем, т.
е. полем, для которого дивергенция равна нулю:
divB = V =0
(так как в силу косой симметрии матрицы Р проекция R* вектора R не
содержит координаты дъ и, следовательно, все дНУддъ = 0). В общем
нелинейном случае циркуляционное поле не является соленоидальным. Так,
если Rt = gtg2, Л2 - -?i?a> то Дивергенция вектора R
diVB = t + l=^-2^0.
т. е. циркуляционное поле R, для которого R q = Rxgt -f- R2g2 ~ = 0, не
является соленоидальным.
Полезно отметить, что практически одновременно, независимо друг от друга
и в совершенно различных формах, аналогичные результаты были получены в
разных странах при разборе термодинамических задач [44а, 53а]. Автор
настоящей книги не уверен, что эта теорема не было доказана еще в прошлом
веке.
§ 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
157
или, учитывая равенство (6.15),
Q'Q = - (grad П)-д. (6.18)
Левая часть этого равенства представляет известную функцию координат дх,
. . qs (так как сила Q задана). Обозначим эту функцию через Н:
Я(gi, • • • ,q,) = Q-q= S QuQh- (6-19)
К=1
Если функция Н тождественно равна нулю, то, согласно равенству (6.15),
сила Q будет неконсервативной позиционной силой и задача разложения силы
Q будет полностью решена при Q = It и П = 0.
Рассмотрим общий случай, когда Н и, следовательно, потенциальная энергия
не равны нулю. Запишем равенство (6.18) в скалярной форме, учтя при этом
равенство (6.19)
<Ш , . дП
+ = (6-2°)
В этом равенстве функция Н известна, а функция П неизвестна. Поэтому
равенство (6.20) можно рассматривать как линейное неоднородное
дифференциальное уравнение в частных производных относительно
потенциальной энергии П. Как известно, решение уравнения (6.20) сводится
к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
dq 1 Ч-i _ d9s du
9i ' ¦ 9s-1 9S -H
Из первых s - 1 уравнений найдем
Ql - Ciq" . . ., Qs-1 = Сs-iQst (6-21)
где Ci, . . ., Cs-1 - произвольные постоянные интегрирования.
Последнее уравнение
d9s dll
я. - -В
приводится к виду
<Щ = - -.//(-1' •'' ' 9s) dgs. (6.22)
9s
Заменим в функции Н переменные qlt . . ., qs-i на их значения из (6.21).
Тогда эта функция будет зависеть
158
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
только от одной переменной qa и постоянных Clt ...
, . Cs-V Интегрируя обе части равенства (6.22), найдем
где С3 - новая постоянная интегрирования.
Общее решение уравнения в частных производных (6.20) можно привести
теперь к следующей форме:
П - - ^ И (C'V ' С"'- '¦Ч, + т(|........i!-),
