Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
форму
F =^Вд-д=~^^Ъпук^. (6.9)
к з
Если эта функция не отрицательна, то она называется функцией рассеивания
или диссипативной функцией Ре-лея-, соответствующие силы D = -Bq
называются диссипативными силами с положительным сопротивлением (или
просто диссипативными силами). Если квадратичная форма F определенно-
положительна, то диссипация называется полной, в противном случае -
неполной. Наконец, если функция F может принимать отрицательные значения,
то среди составляющих силы I) = -Bq имеются ускоряющие силы (силы
отрицательного сопротивления). Обычно диссипативные силы с положительным
сопротивлением возникают естественным образом при движении тел в
сопротивляющейся среде, в электрических цепях при наличии омического
сопротивления и т. п. Ускоряющие силы (силы отрицательного
сопротивления), как правило, создаются с помощью специальных устройств
(см. пример 3 § 6.6).
§ 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
153
Силы Г = -Gg, линейно зависящие от скоростей д и имеющие кососимметричную
матрицу коэффициентов G = || называются, как уже говорилось в § 3.3, ги-
роскопическими. Чаще всего эти силы встречаются в системах, содержащих
гироскопы, но они могут быть и в других системах (см. пример § 6.7).
Силы R = -Рд, линейно зависящие от координат q с кососимметричной
матрицей коэффициентов Р = || р^||, называются неконсервативными
позиционными или просто неконсервативными силами *). Неконсервативные
позиционные силы возникают как естественным образом, так и с помощью
специальных устройств (см. § 6.9).
Рассмотрим пример. Пусть силы Q1 и Q2 имеют вид Qi = -5ц + <?i 2<725
(?2 = 2ц-(- (J2 5д2.
Составим матрицы и В{.
-1 2II вх= 5 0
6 51г -2 -1
Найдем транспонированные матрицы С'г и В'х (в матрицах Сх и Bt
переставляем строки и столбцы):
Разложим матрицы Сх и Вх на симметричные и кососимметричные части:
х) Неконсервативные позиционные силы не имеют твердо установившегося
названия. Г. Циглер называет эти силы циркуляционными [59, 60], в теории
гироскопических систем их называют силами радиальной коррекции [38], в
теории упругости их называют просто неконсервативными силами [11],
некоторые авторы называют их собственно или существенно неконсервативными
силами, псевдо-гироскопическими силами, силами ограниченного
демпфирования (последний термин распространен в американской научной
литературе, посвященной космическим исследованиям). Первые два названия
легко оправдать физическими соображениями, но, невидимому, термин
"неконсервативные позиционные силы" является наиболее точным:
позиционные, так как они зависят от координат системы, неконсервативные,
так как работа их зависит от пути и для них не существует интеграла
энергии. Для простоты мы будем иногда называть неконсервативные
позиционные силы просто неконсервативными силами.
с =1 (Ci+c;)= B = lL(Bx + B't) =
-i 4 II
4 5 I
5 -1 -1 -1
154
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Найдем потенциальную энергию П и функцию Релея F: n=1/2(-ffJ + 8ft9l +
59a),
F (HI-
В данном примере функция Релея F может принимать как положительные
значения (например, при </х ф 0 и q2 = 0), так и отрицательные значения
(например, при </х = 0 и </2 =? 0). Поэтому диссипативная сила -Bq имеет
положительные и отрицательные составляющие. Матрицы-столбцы потенциальных
- Cq, неконсервативных -Pq, диссипативных -Bq и гироскопических-Gq сил
соответственно равны:
?1 - 4?2 2?2 -5 ji + Q 2 - ?2
-4gi - 5 q2 У -2?! " * <71
б. Нелинейные силы. Приведенная классификация линейных сил по их
математической структуре очень удобна для линейных систем, особенно при
исследовании устойчивости движения. Однако для нелинейных сил этот метод
неприменим. Поэтому для общей характеристики сил воспользуемся их
физическими свойствами.
Как известно, работа потенциальной силы К (q) не зависит от пути
перемещения точки приложения силы. Для этой силы справедливо равенство
-К (?) = -giad П (6.10)
или для составляющих
К}=-.-^~ (/=1,...,л), (6.11)
где П - потенциальная энергия.
Для того чтобы некоторая сила К (?), зависящая от положения изображающей
точки М, была потенциальной, необходимо и достаточно, чтобы ее проекции
удовлетворяли равенствам (число их равно числу сочетаний из s по два)
дК- дК,.
-2- = -^- (*,/-.= l,...fS) (6.12)
(необходимость этих условий вытекает непосредственно из (6.11)).
Справедливость формул (6.10)-(6.12) для линейной силы К = -Cq следует из
равенства (6.8).
По определению Томсона и Тета [58] сила Г (q) называется гироскопической,
если мощность (работа) ее
9 8.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
155
тождественно равна нулю
r-j=Srtj,so. (6.13)
к=1
Из этого определения следует, что гироскопическая сила перпендикулярна
скорости q изображающей точки М. Линейная сила Г = -Gq удовлетворяет
этому условию, так как в силу косой симметрии матрицы G произведение T-q
- -Gq• q тождественно равно нулю (см. равенство (5.25)).
Сила X) (<;), зависящая от скорости q изображающей точки М, называется
диссипативной силой с положительным или отрицательным сопротивлением,
