Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
трактуем как силы, не представляют реальные силы, а получились в
результате некоторых математических преобразований. Несмотря на это, все
члены правых частей уравнений (6.40) мы будем называть силами,
действующими на систему.
Задача ставится следующим образом: как определить характер устойчивости
равновесия системы по структуре действующих сил? Примером решения такой
задачи может служить теорема Лагранжа и ее обращение, на основании
которой вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы решается
исследованием одной потенциальной энергии без привлечения анализа левых
частей уравнений (см. § 3.1 и 3.2).
Кроме уравнений возмущенного движения в форме (6.40), будем рассматривать
случай, когда разложения всех сил по степеням q и ( содержат линейные
члены. Длв таких систем уравнения возмущенного движения приводятся к виду
Aq + Btf + Cxq = Q(2). (6.42)
§ 8.3, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
165
В этом векторно-матричном уравнении А - определенно-положительная
симметричная матрица, Вх и Сх - некоторые квадратные матрицы (элементы
всех матриц постоянные числа); составляющие вектора содержат
координаты qK и скорости <Д в степени выше первой.
Воспользуемся формулами (6.4) и (6.5) и разобьем матрицы В1 и С1 на
симметричные и кососимметричные части. Тогда получим
Aq + Bq + Gq + Cq + Pq = Q(2). (6.43)
Кинетическая энергия этой системы определяется равенством (6.41), в
котором коэффициенты ah.j следует считать постоянными числами.
Потенциальные, неконсервативные позиционные, гироскопические и
диссипативные силы определяются равенствами (6.7), потенциальная энергия
- равенством (6.8), диссипативная функция Релея - равенством (6.9).
Уравнение возмущенного движения (6.43) можно представить в двух других
формах. Для этого перейдем к новому переменному вектору * по формуле
q^Az,
где Л - ортогональная матрица преобразования. После подстановки в
уравнение (6.43) получим
AAz + BAz + GAz + CAz -!- PAz ^Zx.
Умножим слева обе части этого уравнения на транспонированную матрицу А!
A'AAz + A'BAz + A'GAz + A'CAz + A'PAz == Z, (6.44)
где Z = Л'Zx - вектор, составляющие которого содержат Zj,- и zu в степени
выше первой. Учтем теперь, что матрицы А и С симметричны и, кроме того,
матрица А определенно-положительна. На основании второй теоремы § 5.3
существует такая неособая ортогональная матрица Л, для которой будут
справедливы равенства (5.42). Пусть Л - такая матрица. Тогда
Л'ЛЛ = Е, А'СА = С0,
где Е - единичная, а С0 - диагональная матрицы.
Легко видеть, что матрица А'ВА симметричная, а матрицы A'GA и А'РА -
кососимметричные. Действительно, на основании правила транспонирования
произведения
166
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
матриц (5.13) имеем
(Л'ВЛУ = (ВЛ)'(Л'У = Л'Я'(Л')'.
Из самого определения следует, что дважды транспонированная матрица равна
исходной матрице, т. е. (А')' = = Л. Кроме того, матрица В симметричная
и, следовательно, В' = В (см. (5.15)). Таким образом,
(Л'ВЛУ = Л'ВЛ,
что на основании той же формулы (5.15) служит доказательством
симметричности матрицы Л'ВЛ.
Если вместо симметричной матрицы В взять кососимметричную матрицу G (или
Р), то будем иметь
(Л'СЛ)' = (GA)'(A')' = Л'С'А
или, учитывая, что матрица G кососимметричная и для нее справедлива
формула (5.16), на основании которой
Q' __ ___ Q
(Л'СЛ)' = - Л'СЛ.
Согласно той же формуле (5.16) заключаем, что матрица A'GA
кососимметричная. Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для матрицы Л1
РЛ.
Учитывая сказанное и принимая во внимание, что Её = s, уравнение (6.44)
можно записать следующим образом:
* + Вк -{- Gk + C0s + Ps - Z, (6.45)
где для простоты симметричная матрица Л'ВЛ и кососимметричные матрицы
A'GA и Л'РЛ обозначены прежними буквами В, С и Р соответственно.
До сих пор мы применяли теорему § 5.3 к матрицам А и С уравнения (6.43).
Но эту же теорему можно применить для матриц А и В. Тогда получим еще
одну форму уравнения возмущенного движения
s + Вок + Gk -f С" + Р% ~ (6.46)
В уравнениях (6.45) и (6.46) С0 и В0 - диагональные матрицы с
вещественными элементами (см. вторую теорему § 5.3):
Cl 0 . . 0 bi 0 . .. 0
0 с2 . 0 0 &2 • .. 0
Со = , Во -
0 0 . • 0 0 .. . ь S
6,3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
167
Таким образом, с помощью линейного ортогонального преобразования q = Л*
уравнение (6.43) можно привести к одной из двух форм (6.45) или (6.46),
причем потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные
позиционные силы преобразуются в силы той же структуры. Очевидно, что из
устойчивости (неустойчивости) относительно координат z и скоростей i
следует устойчивость (неустойчивость) относительно координат q В
скоростей с, и наоборот. Поэтому нас не будет интересовать само
преобразование q = As, приводящее уравнение (6.43) к одному из уравнений
(6.45) или (6.46). Достаточно знать, что такое преобразование существует.
Рассмотрим в уравнении (6.46) силу сопротивления - Вйк более подробно.
Если коэффициент bк > 0, то составляющая этой силы - fcftZjj. будет
