Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
A (A -J- I)2
А 4- 1 О
о
А (А 4- I)2
Полученная матрица является нормальной диагональной для матрицы (5.30).
Заметим, что элементарными преобразованиями часто пользуются для
определения элементарных делителей. Рассмотрим матрицу порядка следующего
вида:
/г
Aj 0 0 . . 0 0
1 Ах 0 . . 0 0
0 1 Ах . 0 0
0 0 0 . • Ах 0
0 0 0 . . 1 Ах
(5.32)
В этой квадратной матрице по главной диагонали стоит одно и то же число
Al5 в диагонали под ней стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
Матрица такого вида называется клеткой Жордана или элементарным ящиком.
Составим A-матрицу J1 - КЕ (напомним, что Е - единичная матрица):
Ах - А 0 0 0 0
1 Aj - А 0 0 0
0 1 Ах-А . 0 0
0 0 0 Ах - А 0
0 0 0 1 Ах - А
(5.33)
Вычеркнем из этой матрицы первую строку и последний столбец и из
оставшихся элементов составим минор порядка ег - 1:
1 Aj - А ... О 0 1 ... 0
0
0
1
§ 5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
137
Так как этот минор равен единице, то Dx = D2 = ...
. . .= Det-i = 1 (см. с. 133). С другой стороны, единственный минор
порядка ех равен
det (/х - ХЕ) = (Хх - Я)е",
Следовательно,
Det = (%- h)e'
(в скобках переставлены местами Я и Ях, так как старший член в Dei должен
иметь коэффициент, равный единице).
Пользуясь формулой (5.27), найдем для матрицы инвариантные множители
Ех - 1, Е2 = 1, . . ., Eei-i = 1, Ев1 = (Я - Я1)е>.
Из этого следует, что матрица Jх - ЯЕ имеет только один элементарный
делитель, равный (Я - Хх)ек
Пусть теперь А - произвольная квадратная матрица, элементы которой
постоянные числа a};j. Составим Я-мат-рицу А - ХЕ (она называется
характеристической для матрицы А)
ах 1 - X ... а1п
ап1 ••• апп~Х
Найдем элементарные делители этой матрицы (Я - я,)*., (Я - Я2)% . . ., (Я
- яra)V
Каждому корню Хк (к = 1, . . ., т) элементарного делителя соответствует
своя клетка Жордана Jk. Нормальной формой Жордана для данной матрицы А
называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Жордана,
а все прочие элементы нулю:
¦Я Е =
(5.34)
/1
(5.35)
Очевидно, что элементарные делители матрицы J - - ЯЕ совпадают с
элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что
корни характеристического уравнения | А - ХЕ \ - 0 совпадают с корнями
элементарных делителей.
138 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Пример 1.
-2 -1 -1 -1
1 -1 0 0
- -4 1 -1 -1
5 1 2 2
(5.36)
Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана, нужно
прежде всего найти элементарные делители характеристической матрицы
(5.34):
-2 -А -1 -1 -1
1 -1 -А, О О
-4 1 -1 -X -I
5 1 2 2-Х
ХЕ.
Для этого воспользуемся элементарными преобразованиями. Умножим первую
строку на -1, затем умножим последний столбец сначала на -(2 + X) и
сложим его с первым столбцом (чтобы получить в верхнем углу нуль); после
этого вычтем иэ второго и третьего столбцов последний столбец (чтобы в
верхней строке получить еще два нуля):
0 О
1 - (1 + Я.)
-2 +А, 2
1 + А* - (1 - А)
Сложим первую строку с третьей, потом умножим первую строку на 2 - А, и
вычтем ее из четвертой; после этого переставим последний столбец на место
первого:
А - ХЕ-
0 1
0 0
-А -1
А 2-А
А-ХЕ-
1
О
О
10
000
1 - (1+А) О
-2 + X 2 -X
1+А,* - (1 - А.) X
А-ХЕ-
Умножим второй столбец на 1 -f- А и добавим его к третьему столбцу (чтобы
получить во второй строке еще один нуль):
10 0 0 0 1 0 0 0 -2 +А -X (1 - X) -X 0 1 + А* X (2 + X + А*) А
Теперь во втором столбце после единицы можно поставить нули (для этого
достаточно умножить вторую строку сначала на 2 - А и сложить с третьей
строкой, затем умножить вторую строку на -(1 -(- А)2 и сложить с
четвертой строкой). После этого умножим четвертый столбец на -(1 - А) и
добавим к третьему столбцу:
10 0 0
0 10 0
0 0 0 -А
0 0 А (1 + А)2 А
ХЕ-
§ 5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
139
Сложим третью строку с четвертой, затем умножим эту строку на -1 и
переставим четвертый столбец на место третьего:
¦ ХЕ -
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 X 0
0 0 0 X (1 + X)*
(5.37)
Получилась нормальная диагональная форма характеристической матрицы А -
ХЕ. Из нее находим
Я, = 1, Яа = 1, Е3 = X, Я4 = X (X + I)*. Следовательно, матрица А - ХЕ
имеет три элементарных делителя:
X, X, (Ь+1)2,
которым отвечают корни
- О, Х3 = 0, := Х^ = -1.
Конечно, эти корни являются одновременно корнями характеристического
уравнения
| А - ХЕ | =0.
Отметим существенное для дальнейшего обстоятельство: корни элементарных
делителей и корни характеристического уравнения всегда совпадают, но их
кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот
случай: нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического
уравнения, но он простой для элементарных делителей (так как двум нулевым
корням отвечают два элементарных делителя). Корин Х3 = Х4 = -1 имеют
одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для
элементарных делителей.
Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см.
равенство (5.32)) (Х1 = 0, ег = 1; Хг = 0, е2 = 1; А,3 = -1, "з = 2):
