Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
С:
Ai-Л^О, Л2-И ?|---3<0, А3 г= det С - 14 > 0.
170
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Так как один из определителей Сильвестра (2.8) для матрицы коэффициентов
потенциальной энергии отрицателен, то система неустойчива (см. § 3.1), и,
следоватейьно, должйы быть неустойчивые координаты. Но число их должно
быть четным, а всего координат три. Поэтому система имеет две
неустойчивые и одну устойчивую координаты.
§ 6.5. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость
равновесия потенциальной системы
В реальных условиях на потенциальную систему налагаются диссипативные
силы, возникающие за счет сопротивления среды (омического сопротивления)
или в результате действия специально установленных устройств. Кроме того,
очень часто встречаются системы, на которые действуют не только
потенциальные и диссипативные, но и гироскопические силы.
Предположим сначала, что невозмущенное движение z - 0, " = 0 под
действием одних потенциальных сил неустойчиво. Естественно возникает
вопрос: нельзя лй стабилизировать неустойчивое движение, присоединив к
потенциальным силам гироскопические силы? Простые примеры показывают, что
в некоторых случаях это осуществимо. Действительно, потенциальная система
-\- c1z1 = 0,
Ч 4 C2Z2 = 0
(6.52)
при отрицательных с, и с2 неустойчива. Присоединим к системе
гироскопические силы - gz2 и gi1 соответственно. Получим
Zi 4- gin 4- c,z, = 0,
1 \2 1 1 ' (6.53
Ч - 84 + ЧЧ = 0.
Составим характеристическое уравнение этой системы
^2 4 ci ек
- gk Я2 4 с-2
•- № + (g2 4 Cl 4 Ci) к* 4- C!C, = o.
Так как в этом уравнении к содержится только в четных степенях, то
каждому корню X будет отвечать корень - к. Поэтому, если вещественная
часть хотя бы одного корня не равна нулю, то найдется корень,
вещественная часть которого положительна. Из этого следует, что
устойчивость наступит только в том случае, если все корни
характеристического уравнения будут чисто мнимыми числами, а корни
относительно к2 - отрицательными веще-
§ 6.5. ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
171
ственными числами. Для этого необходимо и достаточно, .чтобы коэффициенты
характеристического уравнения удовлетворяли следующим условиям:
CiC2 >0, g2 + cL + с2 > 0, (g2 + сх + с2)2 - 4схс2 > 0.
Эти три неравенства сводятся к одному условию (напомним, что но
предположению ct < 0 и с2 < 0)
И> Y~ Cl + У- С2- (6.54)
Таким образом, если коэффициент g удовлетворяет этому условию, то
неустойчивая потенциальная система
(6.52) будет стабилизирована добавлением гироскопических сил - gz2 и
gzx.
Вслед за этим возникает другой вопрос: всегда ли можно стабилизировать
неустойчивую потенциальную систему гироскопическими силами? Одно из
необходимых условий гироскопической стабилизации определяет следующая
теорема (достаточные условия установлены в работах [38, 49]).
Первая теорема Томсона - Тета - Четаева. Если неустойчивость
изолированного положения равновесия системы при одних потенциальных силах
имеет нечетную степень, то гироскопическая стабилизация равновесия
невозможна при любых членах, содержащих координаты и скорости в степени
выше первой г).
Доказательство. Пусть потенциальная система
Ш + Сйг = Z (6.55)
имеет нечетную степень неустойчивости. Присоединив к системе произвольные
гироскопические силы - Gs, получим
8 + Gz + C0z = Z.
Составим характеристическое уравнение, учитывая, что С0 - диагональная, a
G - кососимметричная матрицы
V* + С! g-12^ •• 8и*
д= Я* + с2 . •• 8г? =0
*81% * ,Я ¦ X* + CS
х) Во всех теоремах этой главы при отсутствии специальной оговорки
рассматривается устойчивость относительно координат и скоростей, причем
за невозмущенное движение принимается г = = 0, 2 = 0.
172
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
или, раскрывая определитель и группируя члены по степеням к
А = X23 + . . . + а2, = 0.
Свободный член этого уравнения равен, очевидно, произведению с, ... cs
(чтобы найти его, достаточно в определителе А положить к --- 0):
^L* • * •
Из условий теоремы следует, что а28 < 0. Действительно, число
отрицательных коэффициентов устойчивости сК нечетное и среди них нет
нулевых (так как положение равновесия изолированное). Поэтому среди
корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной
вещественной частью (см. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство
теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по
уравнениям первого приближения (см. § 4.3), и того обстоятельства, что
свободный член a2s характеристического уравнения не зависит от
гироскопических сил.
Прежде чем перейти к исследованию влияния гироскопических и диссипативных
сил на равновесие устойчивой потенциальной системы, остановимся на одной
формуле, которая нам понадобится в дальнейшем. Пусть в системе общего
вида (6.40) отсутствуют неконсервативные позиционные силы (Rk = 0)
d дТ дТ Ш , п , г
тч|7-т^ = -^г + °'' + г>- <6-56>
Умножим каждое уравнение на сД и полученные произ-
ведения сложим. Тогда, учитывая равенство (6.13), получим после несложных
