Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
преобразований
-§г(Т + П)=ЛГ, (6.57)
где N = hDt.i к - мощность сил сопротивления '). Если
силы сопротивления однородны относительно скоростей, то, согласно формуле
(6.37), будем иметь
-А(Г + П) = ^(ш + i)F. (6.58)
Заметим, что для линейных сил сопротивлений m = 1 и правая часть этих
равенств будет равна - 2F (именно
2) Вывод можно найти в любом достаточно полном курсе теоретической
механики (см., например, [12]).
§ 6.5. ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
173
для этого случая формула (6.57) приводится в курсах теоретической
механики).
Вторая теорема Томсона - Тета - Четаева. Если изолированное положение
равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то при
добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил устойчивость
равновесия сохранится.
Доказательство. Воспользуемся формулой (6.57). Так как мощность N
диссипативных сил не положительна, то будем иметь
Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная
энергия П имеет минимум (см. замечания в конце § 3.2). Поэтому функция Т
+ П будет определенно-положительной относительно совокупности координат
<7ic и скоростей (см. доказательство теоремы Лагранжа § 3.1).
Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости
движения (§ 2.2).
Третья теорема Томсона - Тета - Четаева. Если изолированное положение
равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то оно
становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных
гироскопических сил и сил сопротивления с полной диссипацией.
Доказательство. Функция V (q, с) = Т + П определенно-положительна
относительно совокупности координат qk и скоростей ((см. теорему 2). Ее
полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения
определяется равенством (6.57)
На многообразии К (q Ф 0, q = 0) производная Е равна нулю, а вне этого
множества она отрицательна (по условию теоремы диссипация полная - см.
равенство
(6.39)). Покажем, что многообразие К не содержит целых траекторий системы
(6.56). Действительно, при q = 0 кинетическая энергия Т, силы
сопротивления D (q, с) и гироскопические силы Г (q, () обращаются в нуль
(см. равенства (6.41) и (6.38)). Следовательно, при q = 0 и q ф 0
уравнения (6.56) принимают вид
4-<г + п)<о.
(k = 1,..., s),
174
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
что невозможно при изолированном положении равновесия потенциальной
системы х). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Н. Н.
Красовского об асимптотической устойчивости (§ 2.3).
В начале этого параграфа было показано, что в некоторых случаях
неустойчивую потенциальную систему можно стабилизировать гироскопическими
силами. При доказательстве мы не учитывали диссипативные силы. Рассмотрим
сейчас, какое значение имеют эти силы для гироскопической стабилизации.
Четвертая теорема Томсона - Тета - Четаева. Если в окрестности
изолированного неустойчивого положения равновесия консервативной системы
потенциальная энергия может принимать отрицательные значения, то при
добавлении сил сопротивления с полной диссипацией и произвольных
гироскопических сил равновесие останется неустойчивым.
Доказательство. Запишем равенство (6.57) в следующей форме:
Рассмотрим прежнее многообразие К {уф 0, у = 0). На нем Р-! = 0, а вне
его 0 (диссипация полная и,
следовательно, N < 0 при с Ф 0). По условию теоремы в окрестности нуля
существуют точки, в которых П <С 0. В этих точках при у = 0 функция Fi
принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содержит
целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в
предшествующей теореме). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы
Й. Н. Красовского о неустойчивости движения 2).
*) В положении равновесия q = 0 потенциальной системы должны выполняться
равенства (3.2)
Если частные производные равны нулю в окрестности положения равновесия
при q ф 0, то равновесие ие изолировано.
2) Все теоремы этого параграфа были сформулированы Томсоном и 'Гетом в
1879 г. [58]. Строгое доказательство этих теорем для нелинейных систем в
некритических случаях принадлежит Н. Г. Че-таеву [49]. Возможность
распространить эти теоремы на нелинейные системы общего вида была
доказана в шестидесятых годах нашего столетия различными авторами.
dV,
dt
N, Fi = -- (71 + П).
§ 6.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА - ТЕТА - ЧЕТАЕВА 175
Из доказанной теоремы следует, что если неустойчивую потенциальную
систему стабилизировать гироскопическими силами (см. начало параграфа),
то даже малые силы сопротивления с полной диссипацией (практически они
всегда существуют) разрушат с течением временя достигнутую устойчивость.
Поэтому устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, Томсон
и Тет назвали вековой, а устойчивость, полученную с помощью
гироскопических сйл, - временной.
В примере 3 слёдующего параграфа будет показано, что если кроме
дйссипативных сил имеются ускоряющие силы, то гироскопическая
стабилизация неустойчивой потенциальной системы может быть осуществлена.
