Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
/1 = ||0||, /, = |0|, = _J|.
Теперь легко строится нормальная форма Жордана для рассматриваемой
матрицы:
0
J =
0
(5.38)
причем незаполненные элементы равны нулю. Пример 2.
|_2-1-1-1[ 1-1 0 0
А-.
0 -2 -2
2 3 3
(5.39)
140 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Составим характеристическую матрицу
¦ ХЕ--=
-2-Х -1 -1 -1
1 1^ Г о 0
-5 1 1 о -2
6 2 3 3 - Х
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 А,*(А.+1)2
Элементарными преобразованиями эта Х-матрица приводится к нормальной
диагональной форме (читатель без труда выполнит самостоятельно
необходимые действия):
А -ХЕ-
йз нее находим инвариантные множители:
Ег = 1, Е2= 1, Е3 =1, Е, = X* (X + I)2.
Следовательно, матрица А - ХЕ в этом случае имеет только два элементарных
делителя
^2, (* + I)2,
которым отвечают корни
X--] - Хд = 0, Xg - Х4 == "-1.
В данном примере кратность нулевого корня и вещественного отрицательного
корня одинакова как для характеристического уравнения, так и для
элементарных делителей.
Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см.
равенство (5.32)):
О 011 /2=||_1 о
1 о
1 -1
Теперь легко строится нормальная форма Жордана для рассматриваемой
матрицы
/ =
0 0
1 0
-1 0
1 -1
(5.40)
причем незаполненные элементы равны нулю.
Обратим внимание на следующие обстоятельства: характеристические
уравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни: )-i = Х2 = О, Х3 - Xt
= -1. Однако нормальные формы Жордана разные. Это объясняется тем, что в
первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных
делителя, а во втором примере - только два.
В заключение приведем две теоремы линейной алгебры, которые нам
понадобятся в дальнейшем (см., например, [9j 14]).
§ 5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ 141
Теорема 1. Если матрица А неособенная, то элементарные делители матриц А
- ХЕ и АЛ Л-1 - ХЕ одинаковы. Обратно, если элементарные делители матриц
А - ХЕ и В - ХЕ одинаковы, то всегда найдется такая неособенная матрица
А, что
В = ААА~\ (5.41)
Некоторые авторы называют эту теорему основной теоремой линейной алгебры.
Теорема 2. Если квадратные матрицы А и С порядка s симметричны, причем
матрица А знакоопределенная, то:
1) все корни характеристического уравнения
det (АХ + С) - О
вещественны,
2) всегда найдется такая неособенная матрица А, что
АЛА = Е, А'С А = С0, (5.42)
где Е - единичная, а С0 - диагональная матрицы,
Cl 0 . . 0
0 = 0 с2 . . 0 (5.43)
0 0 . . с S
причем сг, сг, . . ., cs равны корням характеристического уравнения.
Вторая часть теоремы равносильна, очевидно, следующему утверждению: если
даны две квадратичные формы
3 S
Т = -2~ Ах-х - -у akjxkXj,
k=i j=i
П - Сх • х = ^P'CkjXkXj,
ii=i j=i
причем первая из них определенно-положительна, то всегда найдется такое
преобразование
х = А%
с неособенной матрицей Л, что в новых переменных обе квадратичные формы
будут равны суммам квадратов:
Т = \ *•" = 4- (z| + ... + 2s2),
1 1
П т- ~2~ Сох • z = ~2~ (ciZi -j- ... + c8z$),
142 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
причем в первой из них (определенно-положительной) все коэффициенты равны
единице.
Применим ко второму равенству (5.42) формулу (5.9):
det С0 = det A'-det С-det А.
Учитывая, что det А' = det А, получим det С0 - A3 det С,
где А = det А - определитель матрицы преобразования.
Так как матрица С0 диагональная, то det С0 = = схс2 . . ,cs.
Следовательно,
схс2 . . . cs = A2 det С.
Если матрица преобразования ортогональна, то А = = +1 (см. (5.18)) и
последнее равенство примет вид
сх ... cs = det С. (5.44)
Кроме того, легко доказывается, что при ортогональном преобразовании след
произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы А'ВА, т. е.
Sp В = Sp А'ВА. (5.45)
§ 5.4. Устойчивость линейных автономных систем. Устойчивость резонанса.
Примеры
Пусть возмущенное движение определяется системой линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать,
что эти уравнения приведены к нормальной форме:
ж = Ах, (5.46)
где ж - матрица-столбец (вектор), а А - квадратная матрица.
С помощью линейного преобразования перейдем от вектора ж к вектору # (от
переменных хх,х2, . . ., хп к переменным zx, z2, . . ., z")
z = Ах (5-47)
с неособенной матрицей А =||а^^||.
Найдем обратное преобразование вектора z в вектор х.
Для этого умножим слева обе части равенства (5.47) на
матрицу А-1 (обратная матрица для А существует, так
§ 5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 143
как матрица Л неособенная)
Л-1ж = Л-1Лэс
или, учитывая, что Л'1 Лзс = (Л-1 Л) х = Ех = х (см. (5.12)),
ас = Л-1ж. (5.48)
Продифференцируем это равенство по времени
Л_1Ж =: X.
Заменим х, согласно уравнению (5.46), на Ах:
Л-1ж = Лас;
принимая во внимание обратное преобразование (5.48), найдем
Л-1ж = АЛ-1*-
Умножив обе части этого равенства слева на матрицу преобразования Л
и учтя, что АЛ-1* = Ек = ж, получим
ж = B"f (5.49)
где матрица В определена равенством
В = АЛЛ-1. (5.50)
Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение
