Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
возмущенного движения (5.46) с искомым вектором х в матричное уравнение
(5.49) с искомым вектором ж. Очевидно, что если движение устойчиво
(неустойчиво) относительно переменного вектора ж, то оно будет устойчиво
(неустойчиво) относительно переменного вектора ас, и наоборот.
Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см.
(5.41)) следует, что элементарные делители матриц А - ХЕ и В - ХЕ имеют
одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы
(5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В,
выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических
матриц А - - ХЕ и В - ХЕ.
За новое дифференциальное уравнение (5.49) возьмем такое, матрица
коэффициентов которого является нормальной формой Жордана для матрицы А
исходного
144 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
уравнения (5.46):
В
Вш
В"
(5.51)
где
К 0 ... 0
1 ... 0
• о 0 ... ч
Переменный вектор ", входящий в преобразованное уравнение (5.49) с
матрицей коэффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его
элементы zlt z2, . .. . . ., zn - каноническими переменными.
Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула
преобразования (5.47) не нужна - нужно знать только элементарные делители
матрицы А - ХЕ.
Дифференциальные уравнения в канонических переменных разобьются на т
независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своему
элементарному делителю или своей клетке Жордана В};. Выпишем одну первую
группу (остальные имеют аналогичную структуру):
Zi = AiZi,
Z2 - Zi -f- ^lZo,
?3 = Z2 + X1Z3,
(5.52)
Zel- Ze^-1 XiZei.
Уравнения (5.52) интегрируются элементарно. Действительно, из первого
уравнения сразу находим
Ч = z01e4
где z01 - начальное значение z1. Вносим полученное значение для гг во
второе уравнение
Z2 X[Z:t =
Интегрируя его, получим
Ч = (zo2 + z01t) е%'1.
§ 5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 145
Продолжая этот процесс, найдем решение уравнений
(5.52):
zi = z0iev,
= (Zq2 "Н Zoify
%s = (zo3 + Zoa^ + zoi "2P^ (5.53)
2e,= [v, + Z0>ei-1* + • * • + gox (gl^__l)| ] eM-
Аналогичные решения получим для других групп.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения. Пусть
= VK +
где vt и - вещественные числа. Тогда eh* = ev*,e|*fc<i.
Учтем теперь, что
16"*" 1 = 1
при любых (хк и 1. Следовательно,
i;eV| = eV.
Из этого равенства следует, что при I-> ос | | -"¦ 0, если vk <' О,
| | -> оо, если О,
|eV| = l, если vjt = 0.
Так как показательная функция растет быстрее любого многочлена f (?), то
для произвольного X = v + \ii будем иметь
О при v О, lim | / (t) еи | = • оо при v О, (5.54)
<~°° оо при v = О,
причем в последнем случае предполагается, что / (t) Ф Ф const.
Из общего решения (5.53) и предельных равенств (5.54) непосредственно
вытекают следующие теоремы об устойчивости движения системы, возмущенное
движение которой описывается дифференциальными уравнениями (5.1) или в
матричной форме (5.46).
146 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
1. Если вещественные части всех корней характери-стического уравнения
отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один,
вещественная часть которого положительна, то невозмущенное движение
неустойчиво.
3. Если некоторые корни характеристического уравнения имеют нулевые
вещественные части, а остальные корни имеют отрицательные вещественные
части, то:
а) невозмущенное движение будет устойчивым (не асимптотически), если
корням с нулевой вещественной частью отвечают простые элементарные
делители (то есть соответствующие ек = 1);
б) невозмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы один корень с
нулевой вещественной частью является кратным корнем соответствующего
элементарного делителя (ек 1).
Прежде чем перейти к примерам, сделаем три замечания.
1. При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нужно
прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если
вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один
корень, вещественная часть которого положительна, то вопрос об
устойчивости решен и нет смысла исследовать элементарные делители, т. е.
решать задачу более сложную. Точно так же задача сразу решается, если
корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с
нулевой вещественной частью соответствуют простые элементарные делители),
а остальные крони имеют отрицательную вещественную часть.
Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать
только в том случае, если среди корней характеристического уравнения
имеются кратные корни с нулевой вещественной частью, а вещественные части
остальных корней отрицательны.
2. В некоторых случаях необходимо ответить не только на вопрос об
устойчивости движения, но и определить матрицу преобразования А
переменных хи х2, . . ., хп в канонические переменные zL, z2, . . ., zn.
