Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
х -)- к2х - Н cos cof. (5.59)
Здесь х - координата, определяющая состояние контура (линейное или
угловое перемещение, заряд и т. п.), к - частота его собственных
колебаний, со - частота возмущающего воздействия, Н = рис g ^
= const.
Из элементарного курса физики известно, что при совпадении частот (к =
со) наступает резонанс, при котором вынужденные колебания определяются
равенством (график этого движения показан на рис. 5.1)
х - sin cof. (5.60)
2(0
Примем это движение за невозмущенное. Тогда уравнение возмущенного
движения будет представлять однородную часть линейного уравнения (5.59) -
см. пример 3 § 1.3:
х -f- к2х = 0.
Составим характеристическое уравнение
А,2 + к2 = 0.
Так как корни А = Ы этого уравнения чисто мнимые и различные, то резонанс
(5.60) устойчив, но не асимптотически. Некоторым этот результат кажется
неожиданным, но следует иметь в виду, что доказана устойчивость процесса,
При котором амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают,
иначе говоря, небольшие возмущения не могут изменить общий характер
движения, изображенного на рис. 5.1.
Г Л А В А VI
ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 6.1. Введение
Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде
всего своей универсальностью, и именно поэтому они не могут содержать
анализа различных физических факторов, влияющих на устойчивость движения.
Между тем во многих случаях такой анализ, проведенный в достаточно общем
виде, может оказаться весьма полезным. В этой главе мы рассмотрим, как
влияют на устойчивость движения различные силы.
Исследование влияния структуры сил на устойчивость движения началось по
существу с работ Томсона и Тета *). В 1879 г. они дали общее определение
гироскопических сил и доказали четыре теоремы об устойчивости движения.
Это направление не развивалось около семидесяти лет. По-видимому, это
можно объяснить тем, что за эти годы была создана общая теория
устойчивости движения с ее эффективными методами исследования. Другая
причина состоит в том, что теоремы Томсона и Тета были сформулированы
только для линейных автономных систем. Наконец, эта теория не включала
неконсервативные позиционные силы, значение которых для многочисленных
технических приложений прояснилось в полной мере лишь за последние
десятилетия.
В начале пятидесятых годов нашего столетия снова возник интерес к
вопросам исследования устойчивости движения по структуре действующих сил.
Было дано строгое доказательство теорем Томсона и Тета, затем эти теоремы
были распространены на нелинейные системы и были получены новые
результаты, охватывающие неконсервативные позиционные силы. Эти
результаты позволяют составить отчетливое физическое представление о
влиянии
1) Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия (см. § 3.1), имеющая
непосредственное отношение к изучаемому вопросу, доказана в годы, когда
рассматривались практически только консервативные системы.
§ 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
151
различных сил на устойчивость движения. Поэтому даже в тех случаях, когда
применение их не упрощает чисто вычислительной части анализа, они могут
оказаться полезными для качественной оценки отдельных факторов, влияющих
на устойчивость движения, особенно в процессе проектирования на этапе
завязки системы (см. пример 3 § 6.6 и др.).
§ 6.2. Классификация сил
Будем считать, что положение системы определяется s обобщенными
координатами qu . . ., qs, а движение ее описывается уравнениями Лагранжа
2-го рода
d дТ дТ _ . .. .. . .
-ЗГ-аТ7-= (6.1)
В этих уравнениях кинетическая энергия системы
S S
Т = ~2~ ъУ) (6-2)
if=i j=i
представляет определенно-положительную квадратичную форму обобщенных
скоростей q с коэффициентами инерции ajcj (q) = aj)с (<?), зависящими от
координат q, а обобщенные силы Q}; являются функциями координат q и
скоростей д.
Для большей наглядности введем в рассмотрение s-мерное ортогональное
пространство (дх, . . ., qs) и два вектора:
9i <?1
я = ¦ , 0 =
9.
Предполагается, что первый вектор определяет изображающую точку М, а
второй - силу, приложенную к этой точке.
Перейдем теперь к характеристике сил.
а. Линейные силы. Рассмотрим сначала случай, когда сила Q линейно
зависит от радиуса-вектора q и скорости q изображающей точки
Q = _cl9 - Btf, (6.3)
где Сг и Вг - заданные квадратные матрицы порядка s X s с постоянными
элементами.
152
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Разобьем матрицы Ск и Вг на симметричные С и В и кососимметричные Р и G
части, положив (см. (5.15)- (5.17))
С, = С + Р, Вг = В + G, (6.4)
где
С = С' = + Р = -Р' = 4г(Сг-С'1),
l 1 (6-5)
5 = B' = -i-(J?i + 51)I G = - G'
Теперь сила Q принимает вид
Q = K+B + D + T. (6.6)
Здесь
K = - Cq, B = - Pq, I)~ - Bq, Г = - Gq. (6.7)
Сила К - -Cq с симметричной матрицей С = || ск} || называется
потенциальной или консервативной, а квадратичная форма
II ^\-Сд-д ----- ^ У! ck#k9j (6-8)
к з
равна потенциальной энергии системы.
Составим с помощью симметричной матрицы В - - II bkj || квадратичную
