Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
произведений одноименных проекций (см. сноску на с. 36), т. е.
Ах*х == (йцд:^ -р ^12*^2 Ч~ * ¦ • Ч- Ч-
Ч~ (&21^Т Ч- ^22*^2 Ч~ • ¦ • Ч"~ (r)2гА'п) *^2 4"
-(- ill'll -[- ^/(2^2 Р • • • Ч- (r)пп%п) -Гп*
Раскрывая скобки и группируя члены, найдем
АХ'Х = апхJ + a22xl + . . . + + (а12 + а21)хгх2 +
("13 "зх) + • • • ("п-1"п "п"?г-1) З-п- Лр'П (5.22)
§ 5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
133
или короче
п п
АХ'Х- 23 23 ащ^кхз'
К=1 j=i
(5.23)
Если матрица А симметричная, то akj = и мы получаем обычную квадратичную
форму:
Если квадратичная форма АХ'Х определенно-положительна, то для простоты
матрица А называется определенно-положительной .
Если матрица А кососимметричная, то ап - О, ак j - -cijK, т. е. akj + ape
= 0. На основании равенства (5.22) заключаем, что для кососимметричной
матрицы А-произведение
Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем.
§ 5.3. Элементарные дёлители
Рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой fij (X) являются
полиномами от некоторого параметра X:
Такие матрицы называются Х-матрицами. Обозначим через Dk (X) {к = 1, . .
., п) общий наибольший делитель всех миноров к-vo порядка матрицы (5.26),
причем коэффициент при старшем члене выбираем равным единице. Легко
показать, что многочлен Dk (X) делится на Dk-x (^). При определении общих
наибольших делителей Dk (X) полезно иметь в виду следующее замечание:
если какой-либо минор к-го порядка равен постоянной величине, то Dk = Dk-
x = . . .= Dx = 1 (так как этот минор должен делиться на Dk, a DK.
делится на Пь-2, • • • ? О,).
Многочлен, равный отношению
Ах-Х= аххх\ + . .. + аппХп + 2ахгХхХ-г + ...
П П
... + 2а^х.пХп-хХп- 23 .23 akjxkXj (akj - ajk). (5.24)
Tr=l j=i
Ах-х t= 0.
(5.25)
F(X) =
(5.26)
fniW /""(4
134 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
называется инвариантным множителем матрицы (5.26). Очевидно, что
D* (Я) = Ех (Я)-Д2 (X) ... Ек (Я),
a Dn (Я) с точностью до постоянного множителя равен det F (Я):
Dn (Я) = х det F (Я) = Ек (Х)-Е, (Я) . . . Еп (Я). (5.28)
Разложим каждый инвариантный множитель Ек (Я) на множители:
Ек (Я) = (Я - ЯХ)Н (Я - Я2)е^ ... (К- Я/^р, где Ях, Я2, . . ., Яр -
различные корни уравнения
det F (Я) = 0. (5.29)
Очевидно, что
екг > 0 (к = 1, . . ., п; г = 1, . . ., р).
Кроме того, ekj ek'j, если к <С к' (так как ?\.' делится на Ек).
Двучлены (Я - Яг) ь', входящие множителями в Ек (Я) и отличные от
постоянного числа (т. е. при екг р> 0), называются элементарными
делителями Я-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами
делители через (Я - Ях)% . . ., (Я - Яга)<'т, причем среди чисел Яг могут
быть и равные (биномы (Я - Яг) * могут входить в разные инвариантные
множители Ек).
Рассмотрим пример. Для матрицы
(Ь + 1)3 (Я-ИР II к + 1 я + 1 II
F( Я) =
(5.30)
мояшо составить четыре минора первого порядка:
(Х+1)з, (Х+1)*, Я.+ 1, Я + 1;
их общий наибольпгай делитель, очевидно, равен
Дх = Я.+ 1.
Для матрицы (5.30) имеется один минор второго порядка
(Ь+1)з (Я. + 1)* Х + 1 Ь+1
с общим наибольшим делителем
D2 = Я (Я + 1)3.
§ 5.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
135
Пользуясь формулой (5.27), найдем инвариантные множители Д1 = Л1 = А. +
1, = = + 1)а.
Элементарные делители для рассматриваемой матрицы будут Х + 1, X, (Х+ I)2
с корнями
= 1, Х2 - О, Х2 - Х-4 - -1.
Эти же корни являются, конечно, корнями уравнения det F (X) = О,
но если для этого уравнения корень X = -1 трехкратный, то этот же корень
для одного элементарного делителя простой, а для другого двукратный.
Матрица
Ei 0 . . 0
0 е2 . . 0
0 0 . . Е п
где Ei, Е2, . . ., Еп - инвариантные множители матрицы
(5.26), называется нормальной диагональной формой этой матрицы. Например,
нормальной диагональной формой для матрицы (5.30) будет матрица
II 1 + 1 0 1
II о ЧЬ + 1)2Г
Элементарными преобразованиями ^-матрицы называются следующие операции:
а) перестановка двух строк или двух столбцов',
б) умножение всех элементов какой-либо строки {столбца) на один и тот же
отличный от нуля постоянный множитель',
в) сложение элементов некоторой строки {столбца), умноженных на один и
тот же полином от X, с соответствующими элементами другой строки
{столбца).
Доказывается, что:
а) элементарные преобразования не изменяют элементарные делители Х-
матрицы;
б) всякую Х-матрицу конечным числом элементарных преобразований можно
привести к нормальной диагональной форме (5.31).
Покажем это на примере матрицы (5.30). Переставим в этой матрице вторую
строку на место первой и второй столбец на место первого. Обозначим
переход с помощью элементарных преобразо-
136 ГЛ. V. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ваний от одной матрицы к другой стрелкой, получим II (X 1)3 (А + 1)2|| I
А + 1 А. 4-1 Л II А, 4-1 А 4-1 ГI (А 4-1)* (А + 1):,|Г
Вычтем теперь элементы первого столбца из соответствующих элементов
второго:
А 4-1 А 4-1 I J А 4-1 0
(А 4- I)2 (A+ip 1 I (А + 1)а А (А + I)2
Умножим элементы первой строки на А -(- 1 и вычтем из элементов второй
строки:
A -J-1 (А 4-1)2
О
