Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
где 'F - произвольная функция.
Учтем теперь, что при Н = 0 потенциальная энергия равна нулю (см.
примечание к формуле (6.19)). Поэтому, положив VF = 0, получим
окончательное выражение для потенциальной энергии
П = - С - {С~?" -C°-l9s'gs) dqs (6.23)
•) я$
(конечно, после вычисления интеграла входящие в него постоянные
интегрирования Сх, . . ., С3-г нужно заменить на их значения из (6.21)).
После того как будет найдена потенциальная энергия П неконсервативная
позиционная сила R определится из равенства (6.16)
R = Q + grad П. (6.24)
Составляющие потенциальной силы К - - gradn определятся равенствами
(6.11)
*1="-^-.(6-25)
Составляющие неконсервативной позиционной силы R определяются из
равенства (6.24)
т> ' <5П _ " , ЗП
Ri = Ql + -djr + (6.26)
Заметим, что первые формулы (6.5) для линейной позиционной силы Q = - Cxq
можно, конечно, получить из равенств (6.25) и (6.26), но это значительно
более сложный и трудоемкий путь, к которому следует прибегать только для
нелинейных систем.
§ 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ Пример. Даны обобщенные позиционные силы
159
Qi = + 9i9a. <?2 = яЫ + Ч-
(6.27)
Требуется разложить эти силы на потенциальные и неконсервативные
позиционные составляющие.
Составим по формуле (6.19) функцию
Н = Qiqi + <?2?2 = + Ч-
Интеграл (6.21) в нашем случае будет
9i = Cqt.
Внесем это значение для дг в функцию И:
Вычислим теперь по формуле (6.23) потенциальную энергию Имеем
Заменив постоянную С на ее значение д^д2, получим окончательное выражение
для потенциальной энергии
Заметим, что при д\ - дг - 6 потенциальная энергия имеет
Сильвестра (2.10): Дх = -1/4 <0, Аа = 13/300 > 0).
Составляющие потенциальной силы К - -grad П и неконсервативной
позиционной силы R найдем по формулам (6.25) и
Легко проверить, что силы R1 и R2 удовлетворяют условию (6.15).
Рассмотрим теперь силу Q (q), зависящую от скорости q изображающей точки
М. Если выделить из этой силы гироскопическую составляющую Г (силу, не
производящую работу), то в соответствии с определениями оставшаяся часть
будет равна диссипативной силе с положительным или отрицательным
сопротивлением. Таким образом/
Н= С*д\ + 2 + Ц
или
(6.28)
максимум (так как для переменных q\ и д\ выполнен критерий
(6.26):
(6.30)
(6.29)
160
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
имеем
Q Ы) = D(g) + T (q). (6.31)
Покажем сейчас, что силу сопротивления В (q) можно представить как
градиент некоторой скалярной функции
F(4):
В = - grad F. (6.32)
В этом равенстве grad F определяется в пространстве скоростей (qx, . . .,
qs) так, что
Dk = -^~ = (6.33)
причем должны выполняться равенства
dDy. dD.
-5jf = -5J7 (*./ = 1....,"). (6.34)
Для доказательства сделанного утверждения достаточно заметить, что в
соответствии с определениями гироскопическая сила Г в пространстве
скоростей (qx, . . . . . .т qs) и неконсервативная позиционная сила M в
пространстве координат (q±, . . ., qs) удовлетворяют одинаковым условиям
ортогональности (6.13) и (6.15). Поэтому, повторяя почти дословно
обоснование возможности разделения позиционных сил, можно доказать
следующую теорему.
Теорема. Любую непрерывную вместе со своими производными первого порядка
силу Q (q), зависящую только от скоростей системы, можно представить
суммой двух сил
Q (я) = - grad F + Г, (6.35)
где Г - гироскопическая сила, a F - некоторая скалярная функция скоростей
(Д.
Сравнивая равенства (6.35) и (6.31), получим (6.32). Функцию F (ц) будем
называть функцией Релея *). Заметим, что функция - F (q) является
потенциалом поля сил сопротивления.
*) Для линейных сил положительного сопротивления диссипативная функция F
введена в 1873 г. Релеем. Определение полной и частичной диссипации для
таких сил дано Четаевым. Здесь приведены обобщения этих понятий на
произвольные силы сопротивления [38].
§ 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
161
Учитывая равенства (6.32) и (6.33), вычислим мощность силы сопротивления
3
N(() = B-q = - grAdF-q = - V-lf-S*. (6.36)
Если составляющие D к силы сопротивления В однородны относительно
скоростей и степень их однородности равна т, то функция F также
однородна, причем степень ее однородности будет, очевидно, т -f- 1. В
этом случае, пользуясь равенством (6.36), по известной теореме Эйлера об
однородных функциях получим
N = - (т + 1) F. (6.37)
В частности, для линейных сил сопротивления N = = -2 F.
Из равенства (6.37) видно, что однородным силам положительного
сопротивления с полной диссипацией отвечает определенно-положительная
диссипативная функция F, а при неполной (частичной) диссипации - просто
положительная функция F.
В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, под силой сопротивления
I) будем понимать силу положительного сопротивления (диссипативную силу).
В тех редких случаях, когда будут рассматриваться силы отрицательного
сопротивления, они будут называться ускоряющими силами.
До сих пор мы считали, что гироскопические силы Г и силы сопротивления В
зависят только от скорости q. На практике эти силы очень часто зависят
