Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся еще на физической интерпретации равенств (6.57) и (6.58).
Выражение Т + П представляет полную механическую (электромеханическую)
энергию. При полной диссипации мощность N < 0, а функция Релея F 0.
Поэтому
4<2-Ш)<0.
Отсюда следует, что с течением времени йолная энергия Т + П убывает,
рассеивается (разумеется, не исчезает, а переходит в другие виды энергии,
например в тепловую). Мощность N и функцию Релея F на основании формул
(6.57) и (6.58) можно рассматривать как меру рассеивания полной энергии Т
+ П. Этим и объясняется причина, по которой силы положительного
сопротивления называют диссипативными силами, а соответствующую функцию
Релея F - диссипативной функцией (лат. dis-sipare - рассеивать).
§ 6.6. Примеры на применение теорем
Томсона - Тета - Четаева
Пример 1. Устойчивость волчка. Определяя положение оси z волчка углами а
и Р (см. пример 3 § 2.6 и рис. 2.15), мы видим, что обё координаты при
невращающемся волчке неустойчивы (так как центр тяжести С находится выше
точки опоры (рис. 6.1, а)). Таким образом, волчок имеет четное число
неустойчивых координат й необходимое условие, налагаемое первой теоремой
Томсона и Тета, выполнено. Дифференциальные уравнения первого приближения
возмущенного движения волчна в переменных аир были иалучены в примере 4 §
4.5 (см. (4.49)):
,/ха + Jzn§ - Pla = 0, /гР - J,na ip = 0.
(6.59)
176
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Эти уравнения можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую
потенциальную систему
Jxa - Pla = 0, - Рф = О
гироскопических сил Jzn$ и -Jхпа соответственно.
а)
Рис. 6.1
Уравнения (5.59) совпадают с уравнениями (6.52), если положить
PI Jzn
= с2 = - __ , g = _i_ .
Jx Jx
Условие гироскопической стабилизации (6.54) принимает в данном примере
вид
Jzn!Jx>2VWTx
или
/"я2 > 4Р11х.
Это условие было получено в примере 3 § 2.6 в нелинейной постановке
задачи (см. соотношение (2.33)).
Если центр тяжести С будет ниже точки подвеса (гироскопический маятник)
(см. рис. 6.1, б), то обе координаты аир будут устойчивы. Согласно второй
теореме Томсона и Тета, в этом случае устойчивость будет достигаться при
любой угловой скорости п. На основании четвертой теоремы Томсона - Тета -
- Четаева устойчивость волчка временная, а устойчивость гиромаятника
вековая.
Пример 2. Устойчивость системы инерциаль-н.ой навигации. При
использовании систем инерциальной навигации для определения координат
движущегося объекта (подводной лодки, самолета, космического корабля и т.
п.) измеряют обычно его линейное ускорение и угловую скорость
относительно инерциальной системы отсчета. Для этой цели могут быть
использованы различные устройства, в частности платформа с тремя
§ б.е. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА - ТЕТА - ЧЕТАЕВА 177
гироскопами (они измеряют составляющие абсолютной угловой скорости) и
тремя акселерометрами пх, Пу, nz (они называются также -ньютонометрами)
(рис. 6.2). Предположим, что в невозмущенном движении точка О платформы
перемещается с постоянной скоростью по параллели Земли, принимаемой за
правильный шар, причем оси х, у, z, жестко связанные с платформой,
ориентированы географически (ось ж направлена на восток ось у - на север,
а ось z - вертикально вверх). В работе [3] получены следующие
дифференциальные уравнения возмущенного движения точки О в предположении,
что ориентация платформы не нарушается:
dl% dt v dt ^
+ К
d* (by) dt2 d2(62)
u>l - m2) bx = 0,
-f- 2o)
-2(o.
d (bx) dt
d (6ж)
+ K-
<0Z) by (0y(0z6z = 0,
(6.60)
dt
(2(o2 + (o2) bz = 0.
В этих уравнениях x, у, z - координаты точки О в невозмущенном движении
в' системе Olx1ijlzl (01 - центр Земли, оси Огхг, Olyl, OxZy параллельны
осям Ox, Оу, Oz), bx, by, bz - отклонения соответствующих координат в
возмущенном движении, шу, <ог - проекции абсолютной угловой скорости
платформы на оси у я z (при рассматриваемом движении шх = 0), "ю = ц/г1,
где ц - гравитационная постоянная Земли, г - расстояние от центра Земли
до точки О в невозмущенном движении.
Для удобства изменим масштаб врйшни, положив
Т = (Оо#,
и введем безразмерные положительные параметры
(6.61)
о
а = .
у
%
(6.62)
Тогда уравнения возмущенного движения (6.60) примут вид
a:i - 2 ^р х3 -f- 2 at3 -f- (1 - а - Р) зц = 0,
x2+2yrJji + (l--P) х2-\- |/^p% = 0, (6.63)
л'з - 2 Ya *i + l/(r)P xz - (2 + а) х3 = 0.
Здесь хг - Ьх, хг = by, х3 - bz, точками обозначены производ ные п
Исследование устойчивости движения хц = 0 упрощается, если применить
теоремы Томсона - Тета - Четаева.
178 гл. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
Матрица коэффициентов сил, линеййо зависящих от хг, х2, х3,
О СО. 1 8 1 0
С = 0 1 -Р /ар" (6.64)
о УЕф - (2 + а)
симметрична. Поэтому уравнения (6.63) можно рассматривать как результат
наложения на потенциальную Систему
.t'i -|- (1 - а - Р) xt = О,
х., -j- (1 - Р) х2 •(- \[ар^з = 0, (6.65)
х3 + / аРж2 - (2 + а)х3 = О
гироскопических сил
-2 lAp .r2-]-2 2 /(Ггь -2/a^i
соответственно.
Координата х1 нормальная (первое уравнение (6.65) не связано
