Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
с Двумя другими). Эта координата устойчива, если
а+Р<1, (6.66)
и неустойчива при
а+р>1. (6.67)
На плоскости а, р область устойчивости координаты хл находится в первом
квадранте (а > О, Р > 0) ниже прямой а + Р = 1; область неустойчивости
выше этой прямой (рис. 6.3).
Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений (6.65) и составим
матрицу коэффициентов потенциальных сил:
i-р YW
V "Р - (2 + а)
Найдем главные диагональные миноры: '
i = l - Р, А* = -а + 2Р - 2. (6.68)
Ниже прямой -а + 2Р - 2 = 0 определитель А* < 0, потому среди
координат х, и х3 одна устойчива и одна неустойчива;
выше этой прямой А2 > 0 и, следовательно, обе координаты не-
устойчивы (так как ври этом А* < 0) (рис. 6.3).
Из сказанного следует.
1. В области I (рис. 6.3) координата хг устойчива, а среди координат .г2
и х3 оДна устойчива И одна неустойчива, т. е. в этой области имеется
всего одна неустойчивая координата.
2. В области II две координаты неустойчивы (х3 и одна Из х2 и х3).
§ 6.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА - ТЕТА - ЧЕТАЕВА 179
3. В области III все три координаты неустойчивы.
На основании первой теоремы Томсона и Тета гироскопическая Стабилизация в
областях / и III невозможна. Выясним, можно ли осуществить
гироскопическую стабилизацию в области II. Для этого составим
характеристическое уравнение системы (6.63):
Я2 + (1-а-Р) - 2 f/рЛ, 2 ]fa%
^+(1~Р) 1/сф
- 2 1/"аР V1 - (2 + а)
=^0. (6.69)
Раскрывая определитель и группируя члены, приведем это уравнение к виду
ДхЯ4 -f- а2Х.2 "Ь - 0, (6.70)
где
ai - 2 (а + Р), а2 = (а + Р)2 - 3 (1 - а + 2Р), в, = (1 _ о - 3)(-а + 2р
- 2).
Так как характеристическое уравнение (6.70) содержит А только в четных
степенях, то для устойчивости движения необходимо и достаточно, чтобы все
корни этого уравнения были чисто мнимыми. Это означает, что корни
относительно Я2 должны быть отрицательны и вещественны. Этим условиям
можно удовлетворить, если подчинить коэффициенты ед критерию Гурвица
(4.30)
(4 0, а2 ^ 0" а3 А2 - а^а2 а3а3 ^ 0 (6.72)
и условию вещественности корней кубического относительно А,2
а,
уравнения (6.70). Для этого с помощью подстановки v - К'1- -гг~
преобразуем уравнение (6.70) к виду
V3 + pv + q = 0
и потребуем, чтобы выполнялось неравенство 2)
Выражая с помощью указанной подстановки р ид через коэффициенты ах, а2 и
а3, преобразуем последнее неравенство к виду
Q = а2 (4а2 - а^) + 27 а3 + 2flia3 (2а2 - 9а2) < 0. (6.73)
Выразим с помощью формул (6.71) условия (6.72) и (6.73) че-
рез параметры а и и выделим в области II ту ее часть, в которой
осуществляется гироскопическая стабилизация. Для этого напомним прежде
всего, что параметры а и р положительны и, следовательно, неравенство >¦
0 выполняется автоматически. Кроме того, в области II коэффициент а9 > 0,
а на прямых 1 я 2
1) Существуют критерии, при выполнении которых все корни уравнения а0х11
+ -!-... + ап_хх + an = 0 вещественны
и отрицательны (см., например, [14]).
180
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
(рис. 6.3 и 6.4) а3 = 0. Построим отрезки кривых
"г (", Р) = О,
А. (а, Р) = 0,
<J (", Р) = О,
находящиеся в области II (вне этой области стабилизация невозможна). При
построении полезно отметить, что все эти кривые пересекают прямые 1 и 2 в
одних и тех же точках А (8/9, 1/9) и
В (4/3, 5/3). Действительно, на этих прямых а3 - 0 и функции Д2 и Q
обращаются в нуль одновременно с а2 (при а3 = 0 имеем Д2 = = ага2, Q =
4а(r) - а\а\). Легко установить, что левее кривых а2 - 0 и Д2 = 0 функции
а2 и Д2 отрицательны, а правее - положительны. Кроме того, Q /> 0 левее
кривой Q = 0 и Q </ 0 правее этой кривой. Таким образом, в области II
правее кривой <9 = 0 одновременно выполняются все неравенства (6.72) и
(6.73) и, следовательно, в этой области осуществляется гироскопическая
стабилизация (кривые а2= 0 и Д2 = 0 пересекают область II только по
линиям, изображенным на рис. 6.4; часть кривой Q = 0, кроме той, что
показана на рисунке, находится в области II, но она расположена левее
кривых а2 = 0 и Д2 == 0, где а2 < 0 и Д2 < 0).
Пример 3. Гироскопический однорельсовый вагон. В первой четверти XX
столетия появились опытные образцы однорельсового вагона и двухколесного
автомобиля, центр тяжести которых был выше рельса (дороги) (рис. 6.5).
Вертикальное положение самого вагона (автомобиля) неустойчиво, и для
стабилизации использовался гироскоп Г.
Прежде чем установить количественные соотношения, которым должны
удовлетворять параметры системы для того, чтобы обеспечить стабилизацию
вертикального положения вагона, рассмотрим вопрос с качественной стороны.
Центр тяжести G вагона находится выше рельса, поэтому угол ф,
определяющий отклонение вагона от вертикали, является неустойчивой
координатой. По первой теореме Томсона - Тета - Четаева гироскопическую
стабилизацию можно осуществить только при четном числе неустойчивых коо;
-
§ 6.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА - ТЕТА - ЧЕТАЕВА 181
динат. Из этого следует, что вторая координата системы д (угол поворота
